نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب – از صفر تا صد

کتاب ریاضی هشتم شامل ۹ فصل است و مباحث متنوعی از درس ریاضی مانند اعداد صحیح و گویا، اعداد اول، چندضلعی‌ها، جبر و معادله، بردار و مختصات، مثلث، توان و جذر، آمار و احتمال و دایره را پوشش می‌دهد. در این مطلب از مجله فرادرس پس از مرور تعریف‌ها، فرمول‌ها و نکات مهم هر فصل، به حل نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب خواهیم پرداخت.

سرفصل های ریاضی هشتم

ابتدا مروری داریم بر مهم‌ترین مباحثی که در کتاب ریاضی هشتم مطرح شده است:

• فصل ۱: عددهای صحیح و گویا
• فصل ۲: عددهای اول
• فصل ۳: چندضلعی‌ها
• فصل ۴: جبر و معادله
• فصل ۵: بردار و مختصات
• فصل ۶: مثلث
• فصل ۷: توان و جذر
• فصل ۸: آمار و احتمال
• فصل ۹: دایره

در ادامه ابتدا به معرفی نکات مهم هر فصل می‌پردازیم و سپس چندین نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب را برای هر فصل حل خواهیم کرد.

فلش کارت ریاضی هشتم

پیش از اینکه به بررسی توضیحات و نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای هر فصل بپردازیم، در این بخش با استفاده از فلش‌کارت‌های زیر می‌توانید مروری داشته باشید بر مهم‌ترین نکات و فرمول‌های این کتاب. با کلیک دوم روی هر فلش‌کارت، محتوای پشت آن قابل‌مشاهده است:

عددهای صحیح و گویا

مجموعه اعداد صحیح که با $$\mathbb{Z}$$ نمایش داده می‌شوند، مجموعه‌ای است شامل اعداد مثبت، صفر و اعداد منفی:

$$\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...\}$$

همان‌طور که در شکل بالا مشاهده می‌کنید، اعداد مثبت یا اعدادی که در سمت راست این محور قرار می‌گیرند، همواره از اعداد سمت چپ یا اعداد منفی و صفر، بزرگتر هستند. مکان قرارگیری عدد صفر «مبدا محور» نامیده می‌شود. اعداد منفی همگی در سمت چپ صفر قرار می‌گیرند. نکته مهمی که در تشخیص اعداد صحیح باید در نظر گرفته شود این است که اعداد کسری و اعداد اعشاری جزء اعداد صحیح نیستند. پس مجموعه اعداد صحیح شامل سه گروه اعداد زیر می‌شوند:

• اعداد مثبت یا $$1,2,3,4, ...$$ (مجموعه اعداد طبیعی)
• اعداد منفی یا $$-1,-2,-3,...$$
• عدد صفر (که نه یک عدد مثبت است و نه یک عدد منفی)

مجموعه اعداد گویا به کلیه اعداد کسری گفته می‌شود که در حالت کلی با تقسیم یک عدد صحیح بر عدد صحیح دیگر تولید می‌شوند، با این شرط که مخرج نباید صفر شود. در واقع هر عددی که بتوان آن را به صورت کسر $$\frac{a}{b}$$ نوشت، طوری که اعداد $$a$$ و $$b$$ اعداد صحیح باشند و $$b \neq 0$$ باشد، یک عدد گویا است.این مجموعه با $$\mathbb{Q}$$ نمایش داده می‌شود:

$$\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z} , b \neq 0\}$$

برای مثال، $$\frac{1}{2}$$ یک عدد گویا است و به‌صورت «یک دوم» خوانده می‌شود. همچنین اعدادی مانند $$0$$ و $$56$$ هم اعداد گویا محسوب می‌شوند، چون می‌توانیم این اعداد را به شکل $$\frac{0}{1}=0$$ و $$\frac{56}{1}=56$$ بنویسیم. شکل‌های زیر به‌خوبی تفاوت اعداد صحیح و گویا را نشان می‌دهند. $$0$$ و $$1$$ دو عدد صحیح روی محور اعداد هستند که بین آن‌ها هیچ عدد صحیح دیگری وجود ندارد:

اما اگر بخواهیم تمام اعداد گویا بین این دو عدد صحیح را در نظر بگیریم، بی‌نهایت عدد گویا وجود دارد که در شکل زیر تنها چهار عدد از این تعداد بی‌نهایت روی محور اعداد نمایش داده شده است:

برخی از نکات مهم در مورد مجموعه اعداد صحیح و گویا عبارت‌اند از:

• اعداد صحیح، اعداد طبیعی و اعداد اعشاری همگی زیرمجموعه‌ای از اعداد گویا هستند.
• مجموعه اعداد طبیعی زیرمجموعه‌ای از مجموعه اعداد صحیح محسوب می‌شوند.
• اعداد صحیح منفی قرینه اعداد صحیح مثبت‌اند.
• قرینه هر عدد، علامت آن عدد را تغیر می‌دهد.
• قرینه عدد منفی، مثبت و قرینه عدد مثبت، منفی است.
• حاصل‌جمع هر عدد با قرینه‌اش برابر با صفر است ($$a + (-a) = 0$$).
• برای تشخیص اعداد گویا می‌توان از روش‌ هم‌مخرج کردن کسرها استفاده کرد.

در بخش‌های بعد با حل نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب، بهتر متوجه این نکات خواهید شد.

جمع و تفریق اعداد گویا

برای اینکه بتوانیم دو عدد گویا یا دو کسر را با هم جمع یا از هم کم کنیم، اولین نکته مهم این است که باید مخرج‌های دو کسر با هم یکی باشند. برای مثال، در عبارت زیر مخرج‌ها با هم برابر هستند و اگر بخواهیم این تفریق را انجام دهیم، پاسخ شامل مخرجی برابر با مخرج هر یک از دو کسر و صورتی برابر با حاصل تفریق صورت‌های دو کسر است:

$$\frac{4}{7}-\frac{6}{7}=\frac{4-6}{7}=\frac{-2}{7}$$

اما اگر بخواهیم حاصل عبارت زیر را که مخرج‌های مختلفی دارد، به‌دست آوریم، چگونه باید عمل کنیم؟

$$\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=?$$

در این موارد که مخرج کسرها با هم برابر نیست، باید مخرج مشترک بگیریم تا مخرج‌ها یکسان شوند. در بخش بعد این روش را توضیح خواهیم داد.

مخرج مشترک

روش پیدا کردن مخرج مشترک به این صورت است که ابتدا باید مضرب‌های هر دو مخرج را لیست کنیم. دقت کنید نیازی نیست تمام مضرب‌های این دو عدد را بنویسیم و برای مثال، نوشتن چهار یا پنچ مضرب اول کافی است:

$$\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=?$$

$$4:4,8,12,16$$

$$2:2,4,6,8$$

اگر مضرب‌های این دو مخرج را با هم مقایسه کنیم، مشخص است که اولین مضرب مشترک عدد $$4$$ است. پس این عدد مخرج مشترک ما در این مثال است. حالا باید ببینیم مخرج‌ها در سوال بالا در چه عددی ضرب شوند تا به مخرج مشترک $$4$$ برسیم. پس از یافتن این عدد، لازم است صورت و مخرج آن کسر در این عدد ضرب شوند. برای نمونه، مخرج کسر $$\frac{3}{4}$$ باید در $$1$$ ضرب شود تا به مخرج مشترک $$4$$ برسیم، پس صورت این کسر هم در $$1$$ ضرب می‌شود. به همین ترتیب، در کسر بعدی یعنی $$\frac{1}{2}$$ مخرج باید در $$2$$ ضرب شود تا به $$4$$ برسیم، پس صورت این کسر هم در $$2$$ ضرب می‌شود:

$$\frac{3\times1}{4\times1}+\frac{1\times2}{2\times2}=\frac{3}{4}+\frac{2}{4}$$

حالا به دو کسر با مخرج یکسان رسیدیم. کافی است مخرج مشترک را به‌عنوان مخرج پاسخ قرار داده و صورت‌ کسرها را با هم جمع کنیم تا حاصل‌جمع این دو کسر محاسبه شود:

$$\frac{3}{4}+\frac{2}{4}=\frac{2+3}{4}=\frac{5}{4}$$

ضرب و تقسیم اعداد گویا

حاصل‌ضرب اعداد گویا یا ضرب کسرها کسری است که صورت آن برابر است با حاصل‌ضرب صورت کسرها و مخرج آن نیز برابر است با حاصل‌ضرب مخرج کسرها:

$$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$$

طبق این قاعده، حاصل‌ضرب دو کسر $$\frac{6}{11}$$ و $$\frac{-2}{3}$$ می‌شود:

$$\frac{6}{11}\times\frac{-2}{3}=\frac{6\times( -2)}{11\times 3}=\frac{-12}{33}$$

پیدا کردن حاصل‌ تقسیم کسرها با دانستن این نکته که عملیات تقسیم عکس عملیات ضرب است، آسان می‌شود. کافی است دومین کسر را معکوس کنیم و با تبدیل تقسیم به ضرب، حاصل را محاسبه کنیم. معکوس کردن یک کسر به معنای جابجایی صورت و مخرج آن است. در حالت کلی اگر دو کسر به‌صورت $$\frac{a}{b}$$ و $$\frac{c}{d}$$ داشته باشیم، تقسیم آن‌ها به شکل زیر انجام می‌شود:

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times( \frac{c}{d})^{-1} =\frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$$

عدد مخلوط و تبدیل آن به کسر

می‌توانیم اعداد گویا یا کسرها را در قالب یک عدد مخلوط نمایش دهیم. عدد مخلوط عددی است که شامل یک عدد کامل مانند $$1$$ یا $$3$$ یا $$6$$ و ... می‌شود که در کنار یک جزء کسری قرار گرفته است. برای مثال، فرض کنید یک پیتزای کامل به همراه پیتزای دیگری که یک اسلایس از آن کم شده است، در اختیار دارید. عدد مخلوط معادل با این دو پیتزا به شکل زیر است:

$$1\frac{3}{4}$$

این عدد به‌صورت «یک و سه چهارم» خوانده می‌شود. اگر بخواهیم معادل کسری این عدد مخلوط را بنویسیم، به شکل زیر پیش می‌رویم:

$$1\frac{3}{4} = \frac{4}{4} +\frac{3}{4} =\frac{7}{4}$$

دقت کنید به‌جای عدد کامل $$1$$ از کسر $$\frac{4}{4}$$ استفاده کردیم.  عکس فرآیند بالا، یعنی تبدیل کسر به عدد مخلوط نیز امکان‌پذیر است. اگر صورت کسری از مخرج آن بزرگتر باشد، می‌توانیم آن کسر را به عدد مخلوط تبدیل کنیم. کافی است ابتدا صورت را بر مخرج تقسیم کنیم. خارج قسمت این تقسیم برابر است با عدد کامل در عدد مخلوط و باقی‌مانده این تقسیم برابر است با صورت بخش کسری در عدد مخلوط. مخرج کسر در عدد مخلوط نیز همان مخرج کسر داده شده است.

نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل اول

پیش از اینکه به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای این فصل بپردازیم، پیشنهاد می‌کنیم مهم‌ترین نکات این فصل را در جدول زیر مرور کنید:

مثال ۱

حاصل عبارت زیر را به دست آورید:

$$A = -15 + (-8) \times (-3) - (-12) \div (+4)$$

پاسخ

طبق اولویت‌های ریاضی، ابتدا ضرب و تقسیم و سپس جمع و تفریق را انجام می‌دهیم. برای انجام ضرب به شکل زیر عمل می‌کنیم:

$$(-8) \times (-3) = +24$$

حالا به انجام تقسیم می‌پردازیم:

$$(-12) \div (+4) = -3$$

با جایگذاری در عبارت اصلی داریم:

$$A = -15 + 24 - (-3)$$

$$A = -15 + 24 + 3 = +12$$

مثال ۲

حاصل کسر مرکب زیر را به ساده‌ترین صورت ممکن بنویسید:

$$B = \frac{1 - \frac{2}{3}}{\frac{4}{5} \div \left(-\frac{2}{15}\right)}$$

پاسخ

ابتدا صورت و مخرج را به‌صورت جداگانه محاسبه می‌کنیم. صورت به شکل زیر ساده می‌شود:

$$1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$

مخرج نیز به‌صورت زیر می‌شود:

$$\frac{4}{5} \div \left(-\frac{2}{15}\right) = \frac{4}{5} \times \left(-\frac{15}{2}\right) = -\frac{60}{10} = -6$$

حاصل برابر است با:

$$B = \frac{\frac{1}{3}}{-6} = \frac{1}{3} \div (-6) = \frac{1}{3} \times \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{18}$$

مثال ۳

دو عدد گویا بین دو کسر $$\frac{1}{2}$$و$$\frac{2}{3}$$ پیدا کنید:

پاسخ

ابتدا کسرها را هم‌مخرج می‌کنیم:

$$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$$

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

چون بین صورت‌های $$3$$ و $$4$$ عدد صحیحی وجود ندارد، پس صورت و مخرج هر دو کسر را در $$3$$ ضرب می‌کنیم تا فضا بازتر شود:

$$\frac{3 \times 3}{6 \times 3} = \frac{9}{18}$$

$$\frac{4 \times 3}{6 \times 3} = \frac{12}{18}$$

حالا می‌توانیم اعدادی بین $$\frac{9}{18}$$ و $$\frac{12}{18}$$ انتخاب کنیم:

$$\text{دو عدد دلخواه}: \frac{10}{18} \text{ و } \frac{11}{18}$$

مثال ۴

معکوس قرینه عدد $$-2\frac{3}{4}$$ را به‌دست آورید:

پاسخ

برای پاسخ دادن به این نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب، ابتدا عدد مخلوط را به کسر تبدیل می‌کنیم:

$$-2\frac{3}{4} = -\frac{2 \times 4 + 3}{4} = -\frac{11}{4}$$

در گام بعدی قرینه این عدد را می‌یابیم (تغییر علامت):

$$\text{قرینه} \left(-\frac{11}{4}\right) = +\frac{11}{4}$$

در نهایت معکوس عدد به‌دست آمده را می‌نویسیم (جابجایی صورت و مخرج):

$$\text{معکوس} \left(+\frac{11}{4}\right) = +\frac{4}{11}$$

یادگیری دروس پایه هشتم با فرادرس

پس از اینکه به بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای فصل اول پرداختیم، در این بخش مروری داریم بر مهم‌ترین فیلم‌های آموزشی فرادرس در زمینه دروس پایه هشتم:

• فیلم آموزش علوم تجربی پایه هشتم – بخش فیزیک فرادرس
• فیلم آموزش علوم تجربی پایه هشتم – بخش شیمی فرادرس

عددهای اول

در فصل دوم این مطلب به بررسی اعداد اول، اعداد مرکب و تعیین اول یا مرکب بودن اعداد می‌پردازیم و سپس نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب را برای این مباحث حل می‌کنیم. هر عدد طبیعی بزرگتر از $$1$$ که فقط دو مقسوم‌علیه یا شمارنده مثبت داشته باشد (خودش و عدد $$1$$)، عدد اول نامیده می‌شود. مجموعه اعداد اول کوچک‌تر از $$20$$ عبارت‌اند از:

$$\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$$

همچنین شمارنده‌های یک عدد، مجموعه‌ای از اعداد هستند که با ضرب برخی از آن‌ها در یکدیگر، عدد موردنظر به‌دست می‌آید. برای مثال تنها شمارنده‌های عدد $$7$$ عبارت‌‌اند از $$1$$ و $$7$$، چون داریم $$1\times7 = 7$$. اما برای عددی مانند $$6$$، علاوه‌بر $$1$$ و $$6$$، شمارنده‌هایی مانند $$2$$ و $$3$$ هم داریم، چون $$2\times3 = 6$$.

تعیین تمام شمارنده‌های یک عدد را تجزیه کردن عدد می‌نامند. برای مثال، $$5$$ یکی از شمارنده‌های $$25$$ است، در نتیجه $$25$$ بر $$5$$ بخش‌پذیر است. بخش‌پذیری به این معنا است که باقیمانده تقسیم عدد مورد‌نظر به هر کدام از شمارند‌ه‌های آن برابر است با صفر. پس در واقع ما عدد موردنظر خود را بر شمارنده تقسیم می‌کنیم و شمارنده همان مقسوم‌علیه در این تقسیم است. در مقابل عدد مرکب به هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از $$1$$ که بیش از دو مقسوم‌علیه داشته باشد، گفته می‌شود.

نکات مهم این فصل در ادامه فهرست شده است:

• عدد $$1$$ نه عدد اول است و نه عدد مرکب.
• هر عدد طبیعی و بزرگتر از یک که فقط دو شمارنده $$1$$ و خودش را داشته باشد، عدد اول است.
• عدد اول همیشه از یک بزرگتر است.
• اگر شمارنده‌های یک عدد را تعیین کرده باشیم، آن عدد حتما بر تک تک این شمارنده‌ها بخش‌پذیر است.
• اگر دو عدد مرکب هیچ فاکتور مشترکی جز عدد $$1$$ نداشته باشند، در این صورت می‌گوییم این دو عدد نسبت به هم اول هستند.
• اگر بخواهیم بدانیم از $$1$$ تا یک عدد مشخص چند عدد اول داریم، می‌توانیم از روش غربال کردن اعداد اول استفاده کنیم.
• عدد $$2$$ تنها عدد اول زوج است، تمام اعداد زوج دیگر مرکب هستند.

نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل دوم

در این بخش به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای فصل دوم می‌پردازیم. در همین راستا، اگر می‌‌خواهید جمع‌بندی کاملی از مباحث ریاضی هشتم داشته باشید، پیشنهاد می‌کنیم مطلب «فرمول های ریاضی هشتم در یک نگاه و با مثال» از مجله فرادرس را مطالعه کنید.

مثال ۱

مشخص کنید آیا عدد $$91$$ اول است یا مرکب؟

پاسخ

ابتدا جذر تقریبی عدد $$91$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\sqrt{91} \approx 9.5$$

در گام بعدی، می‌دانیم اعداد اول کوچک‌تر از $$9.5$$ عبارت‌اند از:

$$2, 3, 5, 7$$

حالا بخش‌پذیری $$91$$ را بر این اعداد بررسی می‌کنیم:

• بر $$2$$ بخش‌پذیر نیست (چون یکان آن فرد است).
• بر $$3$$ بخش‌پذیر نیست (چون مجموع ارقام $$9 + 1 = 10$$ است).
• بر $$5$$ بخش‌پذیر نیست (یکان آن $$0$$ یا $$5$$ نیست).

در نهایت اگر بر $$7$$ تقسیم کنیم:

$$91 \div 7 = 13$$

بخش‌پذیر می‌شود. چون $$91$$ بر $$7$$ بخش‌پذیر است، پس بیش از دو شمارنده دارد. بنابراین یک عدد مرکب است.

مثال ۲

در روش غربال برای تعیین اعداد اول از $$1$$ تا $$120$$، آخرین عددی که مضرب‌های آن خط می‌خورند کدام است؟

پاسخ

برای تعیین اعداد اول تا $$120$$، ابتدا جذر تقریبی $$120$$ را می‌گیریم:

$$\sqrt{120} \approx 10.9$$

اعداد اول کوچک‌تر از $$10.9$$ عبارت‌اند از:

$$2, 3, 5, 7$$

بنابراین آخرین عدد اولی که مضرب‌های آن را خط می‌زنیم عدد $$7$$ است. مضرب‌های عدد اول بعدی یعنی $$11$$ چون $$11^2 = 121 > 120$$ است، قبلا خط خورده‌اند یا نیازی به خط زدن ندارند.

مثال ۳

آیا دو عدد $$15$$ و $$28$$ نسبت به هم متباین هستند؟ چرا؟

پاسخ

ابتدا شمارنده‌های هر دو عدد را می‌نویسیم:

$$\{1, 3, 5, 15\}$$

$$\{1, 2, 4, 7, 14, 28\}$$

بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک این دو عدد برابر است با:

$$(15, 28) = 1$$

چون ب.م.م این دو عدد برابر با $$1$$ است، بنابراین این دو عدد نسبت به هم متباین یا اول هستند.

چندضلعی ها

به تمام اشکال هندسی دو بعدی که از خطوط مستقیم و راست (نه خمیده) تشکیل شده‌ و به‌‌صورت یک شکل هندسی بسته‌اند، چندضلعی گفته می‌شود. برای مثال، مربع یک چندضلعی است، چون یک شکل هندسی دو بعدی است، دارای اضلاعی به‌صورت خط راست است و تمام این اضلاع توسط زاویه‌هایی به هم وصل شده‌اند. اما دایره با اینکه یک شکل هندسی دو بعدی است، اما چندضلعی محسوب نمی‌شود، چون خمیده است و ضلع ندارد.

چندضلعی‌ها با توجه به اندازه اضلاع و زاویه‌‌های خود به دو گروه تقسیم می‌شوند:

• چندضلعی منتظم: تمام اضلاع و زاویه‌های آن با هم برابر هستند.
• چندضلعی نامنتظم: اضلاع و زاویه‌های آن با هم برابر نیستند.

چندضلعی‌ها انواع مختلفی دارند، سه‌ضلعی‌ها یا مثلث‌ها، چهارضلعی‌ها که در بخش بعد توضیح داده می‌شوند، پنج‌ضلعی‌ها، شش‌ضلعی‌ها و به همین ترتیب. در جدول زیر ویژگی‌های چند‌ضلعی‌های مختلف از جمله منتظم یا نامنتظم بودن، تعداد اضلاع و مجموع زاویه‌های داخلی نشان داده شده است:

چهارضلعی ها

چهارضلعی یک شکل هندسی بسته است که فقط و فقط دارای چهار ضلع، چهار راس و چهار زاویه است. این چهار ضلع چهار نقطه را در این نوع اشکال هندسی به هم متصل می‌کنند. اغلب برای نشان دادن یک چهار ضلعی به شکل زیر می‌توانیم از نام‌هایی به‌صورت $$ABCD$$ یا $$BCDA$$ یا $$ADCB$$ یا $$DCBA$$ استفاده کنیم. اما برای مثال، $$ACBD$$ انتخاب درستی نیست، چون این نوع نام‌گذاری با ترتیب رئوس این چهارضلعی همخوانی ندارد.

نکات مهم در مورد چهارضلعی‌ها شامل موارد زیر هستند:

• مجموع زاویه‌های داخلی این اشکال هندسی برابر با $$360$$ درجه است.
• تمام چهارضلعی‌ها دارای چهار ضلع، چهار راس و چهار زاویه اند.
• تمام چهارضلعی‌ها دارای دو قطر هستند.
• در مربع هر چهار ضلع و هر چهار زاویه با هم برابر هستند.
• مستطیل یک چهارضلعی منتظم نیست اما مربع یک چهارضلعی منتظم است.
• قطرهای مستطیل بر هم عمود نیستند.
• در متوازی‌الاضلاع زاویه قائمه نداریم.
• دو قطر مربع با هم مساوی و بر هم عمود‌اند که این زاویه قائمه در شکل زیر مشخص شده است:

زاویه داخلی و خارجی

در بخش قبل اشاره کردیم که برای مثال مجموع زاویه‌های داخلی یک چهارضلعی برابر است با $$360$$ درجه. در تصویر زیر یک پنج‌ضلعی منتظم را مشاهده می‌کنید که زاویه‌های داخلی آن با رنگ قرمز و زاویه‌های خارجی آن با رنگ آبی نمایش داده شده است. زاویه خارجی به زاویه‌ای گفته می‌شود که از امتداد هر ضلع از یک چندضلعی به‌دست می‌آید. در حقیقت زاویه خارجی زاویه‌ای است که بین امتداد یک ضلع و ضلع مجاور در یک چندضلعی ایجاد می‌شود.

مجموع زاویه‌های خارجی هر چندضلعی همواره برابر است با $$360$$ درجه. زاویه داخلی زاویه‌ای است که بین دو ضلع یک شکل هندسی ایجاد می‌شود، در حالی که زاویه خارجی زاویه‌ای است که بین امتداد یکی از اضلاع و ضلع دیگر ایجاد می‌شود.

قضیه زاویه خارجی

قضیه زاویه خارجی بیان می‌کند اندازه هز زاویه خارجی در یک مثلث برابر است با مجموع دو زاویه داخلی غیرمجاور به آن زاویه خارجی. با توجه به اینکه می‌دانیم هر مثلث دارای سه زاویه داخلی است که مجموع این زوایا برابر است با $$180$$ درجه، در نتیجه شش زاویه خارجی برای هر مثلث خواهیم داشت که از امتداد هر کدام از اضلاع در هر راس ناشی می‌شوند. این قضیه برای هر کدام از این شش زاویه خارجی صادق است:

نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل سوم

در این بخش به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای سومین فصل می‌پردازیم. پیش از شروع می‌توانید مهم‌ترین نکات این فصل را در جدول زیر مرور کنید:

همچنین پیشنهاد می‌کنیم برای درک بهتر موضوع خطوط موازی و مورب، فیلم آموزش رایگان خطوط موازی و مورب ریاضی (هشتم) + مثال فرادرس را مشاهده کنید.

مثال ۱

مجموع زوایای داخلی یک $$10$$ ضلعی مقعر یا محدب چند درجه است؟

پاسخ

از فرمول مجموع زوایای داخلی استفاده می‌کنیم:

$$= (n - 2) \times 180$$

تعداد اضلاع $$n = 10$$ است. پس داریم:

$$= (10 - 2) \times 180 = 8 \times 180 = 1440$$

مثال ۲

اندازه هر زاویه داخلی و هر زاویه خارجی یک شش‌ضلعی منتظم را به‌دست آورید:

پاسخ

ابتدا زاویه خارجی را به‌دست می‌آوریم که راحت‌تر است:

$$= \frac{360}{6} = 60$$

از آنجا که زاویه داخلی و خارجی مکمل یکدیگر هستند، یعنی مجموع‌شان برابر با $$180$$ درجه می‌شود. پس داریم:

$$= 180 - 60 = 120$$

مثال ۳

اگر مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی $$1080$$ درجه باشد، این چندضلعی چند ضلع دارد؟

پاسخ

ابتدا فرمول مجموع زوایا را مساوی $$1080$$ قرار می‌دهیم:

$$(n - 2) \times 180 = 1080$$

حالا طرفین را بر $$180$$ تقسیم می‌کنیم:

$$n - 2 = \frac{1080}{180} = 6$$

عدد $$-2$$ را به طرف دیگر معادله می‌بریم:

$$n = 6 + 2 = 8$$

پس این چندضلعی $$8$$ ضلع دارد یا هشت‌ضلعی است.

مثال ۴

در یک لوزی اندازه قطر کوچک $$6$$ و اندازه قطر بزرگ $$8$$ سانتی‌متر است. مساحت و ویژگی قطرهای این لوزی چیست؟

پاسخ

در لوزی قطرها بر هم عموداند و یکدیگر را نصف می‌کنند. فرمول مساحت لوزی نیز برابر است با حاصل‌ضرب قطرها تقسیم بر $$2$$ که با جایگذاری می‌شود:

$$= \frac{8 \times 6}{2} = \frac{48}{2} = 24$$

پس مساحت این لوزی برابر با $$24$$ سانتی‌متر مربع است.

مثال ۵

در یک متوازی‌الاضلاع اگر اندازه یکی از زوایا $$50$$ درجه باشد، اندازه سه زاویه دیگر را مشخص کنید:

پاسخ

در متوازی‌الاضلاع دو ویژگی مهم درباره زوایا داریم:

• زوایای روبرو با هم برابراند.
• زوایای مجاور یا کنار هم با هم مکمل‌اند، یعنی مجموع‌شان برابر با $$180$$ درجه است.

زاویه روبرو برابر است با $$50$$ درجه. پس زاویه مجاور می‌شود:

$$180 - 50 = 130$$

زاویه روبرو به زاویه مجاور نیز برابر است با $$130$$ درجه. بنابراین سه زاویه دیگر $$50$$ و $$130$$ و $$130$$ درجه هستند.

جبر و معادله

معادله در ریاضیات به معنای برابری دو عبارت جبری است. عبارت جبری به مجموعه‌ای از جملات گفته می‌شود که با علامت‌های جمع یا تفریق به هم مربوط شده‌اند. برای مثال، $$4x+5y-10$$ و $$-3y$$ نمونه‌هایی از عبارت جبری هستند. بنابراین منظور ما از جملات در عبارت جبری، هر بخشی است که توسط علامت جمع یا تفریق به دیگری مرتبط شده است. همچنین $$x ,y$$ در عبارت‌های جبری بالا متغیر هستند. هر کمیتی که مقدار عددی آن مشخص نباشد، توسط یک حرف انگلیسی نشان داده می‌شود و متغیر نام دارد.

هر معادله توصیف کننده تساوی بین دو عبارت جبری است که در دو طرف علامت تساوی یا $$=$$ نوشته شده‌اند. حل کردن معادله، به معنای پیدا کردن مقدار عددی متغیری است که در آن معادله وجود دارد. اولین قدم برای حل معادله این است که معادله را تشخیص دهید. در این زمینه، به جدول زیر دقت کنید:

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، دومین ردیف جدول بالا یک معادله نیست. چون در آن علامت تساوی بین دو عبارت جبری دیده نمی‌شود. اما ردیف سوم یک معادله است، با اینکه در آن هیچ متغیری دیده نمی‌شود، اما برابری دو طرف درست است. پس شرط داشتن معادله این است که بین دو عبارت جبری شامل اعداد به‌تنهایی یا اعداد و متغیرها، حتما علامت تساوی داشته باشیم.

دقت کنید با توجه به درجه یا توان متغیرهایی که در عبارت‌‌های جبری یک معادله دیده می‌شوند، می‌توانیم انواع معادلات را به‌صورت زیر دسته‌بندی کنیم:

• معادلات خطی
• معادلات درجه دو
• معادلات درجه سه

دسته‌بندی و تشخیص نوع معادلات از این جهت اهمیت دارد که روش حل انواع معادلات با هم متفاوت است. در نتیجه، می‌توانیم روش درست حل هر معادله را به‌راحتی انتخاب کنیم.

تجزیه عبارت‌ های جبری

فرآیند ساده‌ کردن یا تجزیه عبارت‌های جبری به معنای بازنویسی این عبارت‌ها است، طوری که در نهایت هیچ جمله مشابهی وجود نداشته باشد و توانسته باشیم عبارت جبری اولیه را کوتاه‌تر کرده باشیم. روش‌های مختلفی برای تجزیه عبارت‌های جبری وجود دارد، اما به طور کلی با رعایت مراحل زیر می‌توانیم تجزیه عبارت‌های جبری را بهتر انجام دهیم:

1. ابتدا جملات داخل پرانتز را با جمع یا تفریق کردن جملات مشابه ساده کنید.
2. سپس عوامل خارج از پرانتز را که در آن ضرب شده‌اند، در تک تک جملات داخل پرانتز ضرب کنید.

نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل چهارم

در این بخش به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای چهارمین فصل می‌پردازیم. پیش از شروع می‌توانید مهم‌ترین نکات این فصل را در جدول زیر مرور کنید:

مثال ۱

عبارت جبری زیر را تا حد امکان ساده کنید:

$$A = 3x - 5y + 2(2x + 3y) - 4x$$

پاسخ

ابتدا پرانتز را با ضرب عدد $$2$$ در جملات داخل آن باز می‌کنیم:

$$2(2x + 3y) = 4x + 6y$$

سپس جایگذاری در عبارت اصلی را داریم:

$$A = 3x - 5y + 4x + 6y - 4x$$

حالا جملات متشابه را کنار هم قرار داده و ساده می‌کنیم:

$$A = (3x + 4x - 4x) + (-5y + 6y)$$

$$A = 3x + y$$

مثال ۲

حاصل‌ضرب زیر را به دست آورید و ساده کنید:

$$B = (2a - 3)(a + 4)$$

پاسخ

هر جمله از پرانتز اول را در دو جمله پرانتز دوم ضرب می‌کنیم:

$$B = 2a \times a + 2a \times 4 - 3 \times a - 3 \times 4$$

$$B = 2a^2 + 8a - 3a - 12$$

حالا جملات متشابه ($$8a$$ و $$-3a$$) را با هم ترکیب می‌کنیم:

$$B = 2a^2 + 5a - 12$$

مثال ۳

عبارت $$12x^2y - 18xy^2$$را تجزیه کنید:

پاسخ

ابتدا ب.م.م ضریب‌های اعداد $$12$$ و $$18$$ را پیدا می‌کنیم:

$$(12, 18) = 6$$

سپس متغیرهای مشترک با کمترین توان را انتخاب می‌کنیم. در مورد $$x^2$$ و $$x$$، کمترین توان $$x$$ است. در مورد $$y$$ و $$y^2$$، کمترین توان $$y$$ است. بنابراین بخش فاکتور مشترک برابر است با $$6xy$$. حالا هر جمله را بر $$6xy$$ تقسیم می‌کنیم و پاسخ را در پرانتز قرار می‌دهیم:

$$\frac{12x^2y}{6xy} = 2x$$

$$\frac{18xy^2}{6xy} = 3y$$

نتیجه نهایی فاکتورگیری به شکل زیر است:

$$12x^2y - 18xy^2 = 6xy(2x - 3y)$$

بردار و مختصات

بردار پاره‌خط جهت‌داری است که علاوه بر اندازه، دارای جهت مشخصی است. بنابراین زمانی از بردار استفاده می‌کنیم که علاوه‌بر اندازه یا فاصله، جهت هم برای ما مهم است. برداری که نقطه $$A$$ را به نقطه $$B$$ وصل می‌کند، بردار $$\vec{AB}$$ نامیده می‌شود. بردارهای قرینه، اندازه‌ای برابر ولی جهت‌های مخالف هم دارند، در حالی که بردارهای مساوی، هم اندازه و هم جهت کاملا یکسانی دارند. هر بردار از سه بخش تشکیل شده است:

1. ابتدای بردار
2. اندازه بردار
3. انتها یا جهت بردار

محورهای مختصات

محورهای مختصات محورهایی هستند که یک صفحه را به چهار ناحیه مساوی تقسیم می‌کنند. این محورها متشکل‌اند از محور افقی (محور $$x$$) و محور قائم (محور $$y$$) که با زاویه قائمه یکدیگر را در نقطه‌ای به نام مبدا مختصات قطع کرده‌اند. تصویر زیر بخش‌های مختلف یک صفحه مختصات و چهار ناحیه آن را نشان می‌دهد:

به این ترتیب هر نقطه در این صفحه دارای یک مختصات مشخص است که برای نشان دادن آن از نمادی به‌صورت $$\begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}$$ استفاده می‌شود. در این نمادگذاری، $$a$$ بیانگر این است که نقطه موردنظر ما چقدر نسبت به مبدا روی محور افقی جابجا شده است، در حالی که $$b$$ جابجایی این نقطه نسبت به مبدا در راستای محور قائم را نشان می‌دهد. برای تعیین مختصات یک نقطه، ابتدا باید ببینیم این نقطه در کدام ناحیه از صفحه مختصات قرار دارد.

ویژگی‌های چهار ناحیه صفحه مختصات عبارت‌اند از:

1. ناحیه اول: هم مقادیر $$x$$ و هم مقادیر$$y$$ مثبت‌اند.
2. ناحیه دوم: مقادیر $$x$$ منفی و مقادیر$$y$$ مثبت‌اند.
3. ناحیه سوم: هم مقادیر $$x$$ و هم مقادیر$$y$$ منفی‌اند.
4. ناحیه چهارم: مقادیر $$x$$ مثبت و مقادیر$$y$$ منفی‌اند.

جمع بردارها

برای اینکه بتوانیم دو بردار را با هم جمع کنیم، کافی است مختصات هر بردار را بدانیم. فرض کنید $$\vec{A} = \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}$$ و $$\vec{B} = \begin{bmatrix} c \\ d\end{bmatrix}$$ است. در این صورت مجموع این دو بردار به‌صورت زیر خواهد شد:

$$\vec{A} + \vec{B}= \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} c \\ d\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a+c \\ b+d\end{bmatrix}$$

همچنین اگر عدد صحیحی مانند $$k$$ در بردار $$\ \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}$$ ضرب شود، در حقیقت این عدد در هر کدام از مولفه‌های مختصات این بردار ضرب می‌شود و خواهیم داشت:

$$k\ \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}=\ \begin{bmatrix} ka \\ kb\end{bmatrix}$$

بردار واحد

یکی از بهترین روش‌های نمایش مختصات بردارها این است که از بردارهای یکه یا بردارهای واحد استفاده کنیم. بردار یکه برداری است با اندازه‌ای برابر با یک یا واحد و همواره دارای جهت مشخصی در راستای یکی از محورهای مختصات است. برای اینکه بین بردار معمولی و بردار یکه تمایز قائل شویم، بردار یکه $$a$$ را با نماد $$\hat{a}$$ نشان می‌دهیم، در حالی که بردار $$a$$ معمولی با $$\vec{a}$$ نشان داده می‌شود.

برای اینکه نمایش بردارها با استفاده از بردارهای یکه راحت‌تر شود، بهتر است برای هر محور مختصات در صفحه یک بردار یکه تعریف کنیم. اگر فضای مختصات را یک فضای سه بعدی در نظر بگیریم، در این صورت هر بردار حداکثر دارای سه مولفه یا مختصه می‌تواند باشد که هر کدام در راستای یکی از سه محور مختصات قرار دارند. قبلا با دو محور مختصات یعنی محور $$x$$ و $$y$$ آشنا شدیم. در این بخش محور سومی به نام محور $$z$$ را نیز در نظر می‌گیریم تا یک فضای سه بعدی داشته باشیم. جدول زیر ویژگی‌های بردارهای یکه را برای محورهای مختصات نشان می‌دهد:

به این ترتیب بردار $$\vec{A} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c\end{bmatrix}$$ را می‌توانیم به شکل زیر در قالب بردارهای یکه نمایش دهیم:

$$\vec{A} = a \hat i + b\hat j + c \hat k$$

نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل پنجم

در این بخش به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای این فصل می‌پردازیم. پیش از شروع می‌توانید مهم‌ترین نکات این فصل را در جدول زیر مرور کنید:

مثال ۱

نقاط $$A = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}$$ و $$B = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix}$$ داده شده‌اند. مختصات بردار $$\vec{AB}$$ را به دست آورید:

پاسخ

برای یافتن مختصات بردار $$\vec{AB}$$، مختصات نقطه ابتدا ($$A$$) را از نقطه انتها ($$B$$) کم می‌کنیم:

$$\vec{AB} = B - A$$

$$\vec{AB} = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 - 2 \\ 4 - (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \end{bmatrix}$$

پس مختصات این بردار برابر است با:

$$\begin{bmatrix} -3 \\ 7 \end{bmatrix}$$

مثال ۲

اگر ابتدای بردار $$\vec{a} = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix}$$ نقطه $$A = \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \end{bmatrix}$$ باشد، مختصات نقطه انتهای آن را به‌دست آورید:

پاسخ

می‌دانیم $$\vec{a} = B - A$$ است، بنابراین $$B = A + \vec{a}$$ خواهد بود:

$$B = \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 4 \\ 5 + (-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}$$

پس مختصات نقطه انتها برابر است با:

$$B = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}$$

مثال ۳

اگر بردار $$\vec{p} = \begin{bmatrix} 2x - 4 \\ 3y + 9 \end{bmatrix}$$ برابر با بردار صفر باشد، مقادیر $$x$$ و $$y$$ را به‌دست آورید:

پاسخ

بردار صفر برابر است با:

$$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

پس باید طول و عرض بردار $$\vec{p}$$ را برابر با صفر قرار دهیم:

$$2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$$

$$3y + 9 = 0 \implies 3y = -9 \implies y = -3$$

بنابراین مقادیر مجهول عبارت‌اند از $$x = 2$$ و $$y = -3$$

مثلث

مثلث یکی از اشکال هندسی است که از سه زاویه داخلی بسته و سه ضلع تشکیل شده است. در حقیقت، زمانی که سه خط مختلف یکدیگر را در سه نقطه قطع کنند، مثلث ساخته می‌شود. اگر سه زاویه یا سه راس یک مثلث $$P$$ و $$Q$$ و $$R$$ باشند، در این صورت این مثلث را با $$\triangle PQR$$ نشان می‌دهیم. مجموع زاویه‌های یک مثلث همیشه برابر است با $$180$$ درجه.

با توجه به اندازه اضلاع و زاویه‌ها در یک مثلث، سه نوع مثلث خاص داریم:

• مثلث متساوی‌الساقین: اگر دو ضلع و دو زاویه در مثلثی با هم برابر باشند.
• مثلث متساوی‌الاضلاع: اگر سه ضلع و سه زاویه در مثلثی با هم برابر باشند.
• مثلث قائم‌الزاویه: مثلثی که یک زاویه قائمه دارد.

با توجه به اینکه گفتیم مجموع زاویه‌های داخلی یک مثلث همیشه با $$180$$ درجه برابر است، پس اگر در یک مثلث هر سه زاویه‌ آن با هم برابر باشد، می‌توانیم نتیجه‌گیری کنیم که هر زاویه برابر می‌شود با $$\frac{180}{3}=60$$ درجه. به این ترتیب هر کدام از زاویه‌های یک مثلث متساوی‌الاضلاع $$60$$ درجه است.

هم نهشتی مثلث ها

هم‌نهشتی به این معنا است که بتوانیم یک شکل هندسی را کاملا بر شکل دیگر منطبق کنیم. برای مثال، اگر بخواهیم هم‌نهشتی دو مثلث را بررسی کنیم، باید علاوه‌بر اضلاع، زاویه‌های این دو را نیز با هم مقایسه کنیم.

به‌طور کلی در هر کدام از سه حالت زیر می‌توانیم بگوییم دو مثلث هم‌نهشت محسوب می‌شوند:

• سه ضلع دو مثلث با هم برابر باشند (ض ض ض).
• دو ضلع مجاور و زاویه بین این دو ضلع در دو مثلث با هم برابر باشند (ض ز ض).
• دو زاویه و ضلع بین از هر دو مثلث با هم برابر باشند (ز ض ز).

پس از اینکه توانستیم ثابت کنیم دو مثلث هم‌نهشت‌اند، این امکان وجود دارد تا بتوانیم سایر بخش‌های نامعلوم در مثلث‌ها را به‌دست آوریم.

نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل ششم

در این بخش به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای این فصل می‌پردازیم. پیش از شروع می‌توانید مهم‌ترین نکات این فصل را در جدول زیر مرور کنید:

مثال ۱

در یک مثلث، اندازه دو زاویه داخلی برابر با $$55$$ و $$70$$ درجه است. اندازه زاویه سوم را به‌دست آورید:

پاسخ

می‌دانیم مجموع سه زاویه داخلی هر مثلث برابر با $$180$$ درجه است. پس برای سومین زاویه داریم:

$$= 180^\circ - (55^\circ + 70^\circ)$$

$$= 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$$

اندازه زاویه سوم برابر با $$55$$ درجه شد. پس این مثلث متساوی‌الساقین نیز هست.

مثال ۲

در یک مثلث متساوی‌الساقین، اگر زاویه پای قاعده برابر با $$40$$ درجه باشد، زاویه راس چند درجه است؟

پاسخ

در مثلث متساوی‌الساقین، دو زاویه پای قاعده با هم برابر هستند، پس هر دو $$40$$ درجه می‌شوند.

$$= 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ$$

حالا این مقدار را از مجموع کل یعنی $$180$$ درجه کم می‌کنیم تا زاویه راس به‌دست آید:

$$180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$$

پس زاویه راس برابر با $$100$$ درجه است.

مثال ۳

آیا می‌توان مثلثی با اضلاعی به طول‌های $$3$$ و $$4$$ و $$8$$ سانتی‌متر رسم کرد؟ چرا؟

پاسخ

خیر، نمی‌توان چنین مثلثی رسم کرد. طبق نامساوی مثلثی، طول هر ضلع باید از مجموع دو ضلع دیگر کمتر باشد. اگر این مسئله را بررسی کنیم، داریم:

$$3 + 4 = 7$$

اما از طرفی داریم:

$$7 < 8$$

یعنی مجموع دو ضلع کوچک‌تر، از ضلع سوم کمتر است. پس رسم این مثلث غیرممکن است.

مثال ۴

ارتفاع وارد بر قاعده در یک مثلث متساوی‌الساقین چه ویژگی‌های مهمی دارد؟

پاسخ

ارتفاع وارد بر قاعده در مثلث متساوی‌الساقین چهار ویژگی مهم دارد:

• بر قاعده عمود است، یعنی با آن زاویه $$90^\circ$$ می‌سازد.
• قاعده را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند، یعنی میانه است.
• زاویه راس را به دو زاویه مساوی تقسیم می‌کند، پس نیمساز است.
• بر روی محور تقارن مثلث قرار دارد.

توان و جذر

اگر عددی چند بار در خودش ضرب شود، می‌توانیم آن را به‌صورت یک عدد توان‌دار بنویسم. برای مثال، فرض کنید داریم $$10\times10\times10\times10\times10\times10\times10$$. در این عبارت عدد $$10$$ به اندازه $$7$$ مرتبه در خودش ضرب شده است. پس نمایش توانی این عبارت به‌صورت زیر است که در آن $$10$$ پایه و $$7$$ توان یا نما نامیده می‌شود:

$$10\times10\times10\times10\times10\times10\times10=10^7$$

قواعد محاسبات اعداد توان دار

برای اینکه در محاسبات اعداد توان‌دار به‌درستی عمل کنیم، چند قاعده کوتاه در این بخش معرفی می‌شود که بهتر است آن‌ها را به‌خاطر بسپارید:

• عدد به توان صفر: $$a^0= 1$$
• عدد به توان یک: $$a^1= a$$
• ضرب اعداد با پایه‌های مساوی: توان‌ها با هم جمع می‌شوند.
• تقسیم اعداد با پایه‌های مساوی: توان‌ها از هم کم می‌شوند.

جذر و ریشه

عبارتی به‌صورت $$5^2 = 25$$ را در نظر بگیرید. در این تساوی، $$25$$ توان دوم یا مجذور عدد $$5$$ و عدد $$5$$ ریشه دوم یا جذر عدد $$25$$ نامیده می‌شوند. پس به توان دوم هر عدد، مجذور آن عدد و به ریشه دوم هر عدد، جذر آن عدد گفته می‌شود. نمایش ریشه دوم یک عدد با نماد رادیکال $$\sqrt{}$$ روی آن مشخص می‌شود.

جذر تقریبی

گاهی محاسبه جذر یک عدد راحت نیست. اگر مجذور ده عدد اول را بدانیم، می‌توانیم به‌صورت تقریبی حاصل یک رادیکال را حدس بزنیم. به این روش محاسبه جذر، جذر تقریبی می‌گویند. برای مثال، $$\sqrt{34}$$ را نمی‌توانیم به‌صورت دقیق و بدون کمک گرفتن از ماشین حساب پیدا کنیم. اما می‌دانیم جذر $$25$$ برابر است با $$5$$ و جذر $$36$$ برابر است با $$6$$. پس جذر $$34$$ هم باید بین جذر این دو عدد قرار بگیرد. در نتیجه $$\sqrt{34}$$ همواره بزرگتر از $$5$$ و کوچکتر از $$6$$ است.

نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل هفتم

در این بخش به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای این فصل می‌پردازیم. پیش از شروع می‌توانید مهم‌ترین نکات این فصل را در جدول زیر مرور کنید:

همچنین در مورد مباحث این فصل پیشنهاد می‌کنیم مطلب «ساده کردن رادیکال ها – به زبان ساده با مثال و تمرین» از مجله فرادرس را مطالعه کنید.

مثال ۱

حاصل عبارت توان‌دار زیر را به ساده‌ترین صورت ممکن بنویسید:

$$A = 2^3 \times 2^4$$

پاسخ

چون پایه‌ها مساوی هستند، از قانون ضرب پایه‌های مساوی استفاده می‌کنیم، یعنی یک پایه را نوشته و توان‌ها را جمع می‌کنیم:

$$A = 2^{3 + 4} = 2^7$$

پس حاصل برابر با $$2^7$$ یا $$128$$ است.

مثال ۲

حاصل عبارت جبری زیر را با اعمال قوانین توان ساده کنید:

$$C = (x^2)^3 \times x^4$$

پاسخ

ابتدا به محاسبه توان توان می‌پردازیم:

$$(x^2)^3 = x^{2 \times 3} = x^6$$

سپس ضرب در عبارت بعدی یعنی جمع توان‌ها را داریم:

$$C = x^6 \times x^4 = x^{6 + 4} = x^{10}$$

مثال ۳

حاصل جذر زیر را به‌دست آورید:

$$\sqrt{144} - \sqrt{81} + \sqrt{0.25}$$

پاسخ

ابتدا حاصل تک‌تک رادیکال‌ها را محاسبه می‌کنیم:

$$\sqrt{144} = 12$$

$$12 \times 12 = 144$$

$$\sqrt{81} = 9$$

$$9 \times 9 = 81$$

$$\sqrt{0.25} = 0.5$$

$$0.5 \times 0.5 = 0.25$$

حالا مقادیر را جایگذاری می‌کنیم:

$$12 - 9 + 0.5 = 3 + 0.5 = 3.5$$

مثال ۴

جذر تقریبی عدد $$\sqrt{40}$$ را تا یک رقم اعشار به‌دست آورید:

پاسخ

ابتدا دو مربع کامل مجاور عدد $$40$$ را پیدا می‌کنیم:

$$36 < 40 < 49 \implies \sqrt{36} < \sqrt{40} < \sqrt{49} \implies 6 < \sqrt{40} < 7$$

پس جذر بین $$6$$ و $$7$$ است. حالا با حدس و آزمایش پیش می‌رویم:

$$6.3 \times 6.3 = 39.69$$

که خیلی نزدیک به $$40$$ است.

$$6.4 \times 6.4 = 40.96$$

که بزرگ‌تر شد. بنابراین جذر تقریبی عدد $$40$$ برابر با $$6.3$$ است.

یادگیری ریاضیات متوسطه با فرادرس

در این بخش این مطلب از مجله فرادرس مروری داریم بر مهم‌ترین فیلم‌های آموزشی فرادرس در زمینه یادگیری و تسلط بیشتر بر ریاضیات متوسطه دوم:

• فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرین
• فیلم آموزش آمار و احتمال – پایه یازدهم

آمار و احتمال

آمار فرآیند جمع‌آوری اطلاعات از نمونه‌های مختلف با هدف سازمان‌دهی، بررسی، مقایسه و انجام تحلیل یا محاسبات آماری مختلف روی آن‌ها است تا بتوان پیش‌بینی یا تخمین مناسبی در مورد یک موضوع خاص ارائه کرد. در بخش جمع‌آوری اطلاعات، می‌توانیم از روش‌های مختلفی مانند جدول یا نمودارهای مناسب برای نشان دادن داده‌ها استفاده کنیم. به‌ویژه کاربرد نمودار، در مقایسه اولیه داده‌ها بسیار کمک کننده است.

اگر می‌خواهید در زمینه آمار و احتمال یادگیری خود را تکمیل کنید، پیشنهاد ما مشاهده فیلم آموزش آمار و احتمال – پایه یازدهم فرادرس است که لینک آن نیز در ادامه برای شما قرار داده شده است:

انواع نمودارهای آماری

در این بخش چند نمودار آماری مهم معرفی می‌شود:

• نمودار میله‌ای یا ستونی
• نمودار دایره‌ای

یکی از بهترین نمودارهایی که برای نشان دادن داده‌های آماری می‌توان بکار برد، نمودار میله‌ای است. در این نوع نمودار، داده‌های هر بخش در قالب یک میله مستطیل شکل نشان داده می‌شوند:

نوع دیگری از نمودارهای آماری، نمودار دایره‌ای است. این نمودار یک دایره‌ است که سهم بخش‌های مختلف یک موضوع در آن با رنگ‌های مختلف از هم تفکیک می‌شوند. این نمودار به ما کمک می‌کند سهم موضوعات یا اجزای مختلف را شبیه به مساحت برش‌‌های مختلف یک پای مقایسه کنیم.

دامنه تغییرات

اگر تعداد زیادی داده عددی در مورد یک موضوع جمع‌آوری کرده‌ باشیم، برای اینکه بتوانیم دید آماری دقیق و درستی نسبت به داده‌های خود کسب کنیم، یکی از راه‌ها محاسبه چند کمیت‌های آماری مهم مانند دامنه تغییرات است. دامنه تغییرات برابر است با اختلاف بین کمترین و بیشترین مقدار داده.

اگر بخواهیم دامنه تغییرات را برای یک مجموعه داده حساب کنیم، اولین قدم این است که داده‌های خود را از کوچکترین مقدار تا بزرگترین مقدار به‌ترتیب مرتب کنیم. سپس با محاسبه اختلاف دو عدد اول و آخر در این لیست، دامنه تغییرات به‌دست می‌آید. اگر دامنه تغییرات عدد بزرگی شود، نشان می‌دهد تنوع داده‌های ما بالا است، در حالی که کوچک بودن دامنه تغییرات به معنای تنوع پایین در داده‌ها است. مجموعه داده‌ زیر را در نظر بگیرید:

$$0,1,2,1,0,2,3,1,1,0$$

برای محاسبه دامنه تغییرات این مجموعه ابتدا داده‌ها را از کوچک به بزرگ مرتب می‌کنیم:

$$0,0,0,1,1,1,1,2,2,3$$

حالا با کم کردن بیشترین مقدار از کمترین مقدار داده، دامنه تغییرات محاسبه می‌شود:

$$3-0=3$$

میانگین

یکی دیگر از روش‌های بررسی و تحلیل داده‌های آماری، محاسبه میانگین داده‌ها است. کافی است ابتدا مجموع تمام داده‌های عددی را به‌دست آوریم. سپس این مجموع را بر تعداد کل داده‌ها تقسیم کنیم. بنابراین اگر بخواهیم میانگین مجموعه داده بخش قبل راحساب کنیم، به این ترتیب پیش می‌رویم:

$$\frac{0+1+2+1+0+2+3+1+1+0}{10}=\frac{11}{10}=1.1$$

فراوانی

فراوانی در آمار به این معنا است که هر داده مشخص در یک مجموعه داده چند مرتبه تکرار می‌شود. اگر مجددا به مجموعه داده $$0,1,2,1,0,2,3,1,1,0$$ بازگردیم، می‌توانیم جدولی به‌صورت زیر به نام جدول فراوانی تنظیم کنیم:

مجموع فراوانی داده‌ها در دومین ستون باید با تعداد کل داده‌ها برابر شود که همین‌طور هم هست:

$$3+4+2+1=10$$

احتمال

در نظریه احتمال شانس وقوع یک پدیده، اتفاق یا پیشامد اندازه‌گیری می‌شود. برای مثال، پرتاب یک سکه را در نظر بگیرید. در این آزمایش دو پیشامد یا حالت ممکن است داشته باشیم، یا سکه رو می‌آید و یا زیر. رو یا زیر آمدن سکه در این آزمایش با شانس کاملا برابری اتفاق می‌افتد. بنابراین می‌توانیم بگوییم احتمال رو آمدن سکه برابر است با یک از دو یا $$\frac{1}{2}$$. همچنین احتمال زیر آمدن سکه هم برابر است با یک از دو یا $$\frac{1}{2}$$. در واقع این دو حالت یعنی زیر و رو احتمال وقوع برابری دارند.

پس برای اینکه بتوانیم احتمال را محاسبه کنیم، ابتدا لازم است تمام حالت‌های ممکن را بشماریم. سپس تعداد حالت‌های موردنظر یا مطلوب را از بین این حالت‌ها تعیین می‌کنیم. تقسیم این دو عدد به ما احتمال را می‌دهد. احتمال همیشه عددی بین صفر و یک است. اگر احتمال وقوع رخدادی برابر با یک شود، یعنی قطعیت کامل داریم در حالی که اگر احتمال صفر به‌دست آوریم، با قطعیت می‌توانیم از عدم پیشامد آن اتفاق صحبت کنیم.

نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل هشتم

در این بخش به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای این فصل می‌پردازیم. پیش از شروع می‌توانید مهم‌ترین نکات این فصل را در جدول زیر مرور کنید:

مثال ۱

میانگین پنج عدد برابر با $$12$$ است. اگر عدد دیگری به ارزش $$18$$ به آن‌ها اضافه شود، میانگین جدید را به‌دست آورید:

پاسخ

ابتدا مجموع پنج عدد اولیه را پیدا می‌کنیم:

$$5 \times 12 = 60$$

حالا عدد جدید یعنی $$18$$ را به مجموع اضافه می‌کنیم تا مجموع شش عدد به‌دست آید:

$$60 + 18 = 78$$

میانگین جدید را محاسبه می‌کنیم  که از تقسیم بر تعداد جدید یعنی $$6$$ حاصل می‌شود:

$$\frac{78}{6} = 13$$

مثال ۲

اگر تاس معمولی را پرتاب کنیم، فضای نمونه‌ چیست و احتمال اینکه عدد ظاهر شده اول باشد، چقدر است؟

پاسخ

فضای نمونه‌ای تاس ($$S$$) شامل اعداد یک تا شش است، پس داریم:

$$n(S) = 6$$

اعداد اول در تاس عبارت‌اند از $$\{2, 3, 5\}$$، پس تعداد حالات مطلوب می‌شود:

$$n(A) = 3$$

محاسبه احتمال به‌صورت زیر انجام خواهد شد:

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

پس احتمال آمدن عدد اول برابر با $$\frac{1}{2}$$ یا پنجاه درصد است.

مثال ۳

دو سکه را با هم پرتاب می‌کنیم. احتمال اینکه هر دو سکه رو بیایند، چقدر است؟

پاسخ

تمام حالت‌های ممکن برای پرتاب دو سکه (فضای نمونه‌ای) عبارت‌اند از:

$$S = \{(\text{پ}, \text{پ}), (\text{پ}, \text{ر}), (\text{ر}, \text{پ}), (\text{ر}, \text{ر})\}$$

پس کل حالات $$n(S) = 4$$ است.حالت مطلوب (هر دو رو) به شکل زیر هستند:

$$A = \{(\text{ر}, \text{ر})\} \implies n(A) = 1$$

محاسبه احتمال به شکل زیر خواهد بود:

$$P(A) = \frac{1}{4}$$

دایره

دایره یکی از اشکال هندسی است که مهم‌ترین مشخصه آن شعاع است. فاصله مرکز دایره از هر نقطه روی محیط آن، شعاع نامیده می‌شود. دو برابر شعاع دایره قطر دایره است. در مورد این شکل دو بعدی چند نکته مهم وجود دارد که عبارت‌اند از:

• اگر بین یک خط و دایره تنها یک نقطه مشترک وجود داشته باشد، در این صورت می‌گوییم این خط بر دایره مماس است.
• شعاع دایره همواره به محیط داخلی آن عمود است.
• زاویه مرکزی در دایره به زاویه‌ای گفته می‌شود که راس آن در مرکز دایره قرار دارد.
• زاویه محاطی در دایره به زاویه‌ای گفته می‌شود که راس آن روی محیط دایره قرار دارد.
• پاره‌خطی که دو نقطه از محیط دایره را به هم وصل می‌کند. بزرگ‌ترین وتر دایره یا قطر آن است.

نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب فصل نهم

در این بخش به حل و بررسی نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب برای آخرین فصل می‌پردازیم. پیش از شروع می‌توانید مهم‌ترین نکات این فصل را در جدول زیر مرور کنید:

مثال ۱

فاصله مرکز یک دایره تا خطی برابر با $$5$$ سانتی‌متر است. اگر شعاع دایره برابر با $$8$$ سانتی‌متر باشد، وضعیت خط و دایره را مشخص کنید:

پاسخ

چون فاصله خط تا مرکز ($$d = 5$$) از شعاع دایره ($$r = 8$$) کمتر است ($$5 < 8$$)، پس خط و دایره دو نقطه مشترک دارند و خط، دایره را قطع می‌کند (خط متقاطع است).

مثال ۲

از یک نقطه خارج دایره به فاصله $$13$$ سانتی‌متر از مرکز، خط مماسی به دایره رسم کرده‌ایم. اگر شعاع دایره $$5$$ سانتی‌متر باشد، طول پاره‌خط مماس یعنی فاصله نقطه بیرونی تا نقطه تماس را به‌دست آورید:

پاسخ

شعاع رسم شده به نقطه تماس بر خط مماس عمود است. بنابراین یک مثلث قائم‌الزاویه تشکیل می‌شود که در آن وتر مثلث مساوی با فاصله نقطه تا مرکز ($$13$$) است. یک ضلع قائمه مساوی با شعاع دایره ($$5$$) است. ضلع دیگر را به کمک قضیه فیثاغورس محاسبه می‌کنیم:

$$x^2 + 5^2 = 13^2$$

$$x^2 + 25 = 169$$

$$x^2 = 169 - 25 = 144$$

$$x = \sqrt{144} = 12$$

پس طول پاره‌خط مماس برابر با $$12$$ سانتی‌متر است.

آزمون ریاضی هشتم

در آخرین بخش با حل سوالات چهار گزینه‌ای آزمون زیر می‌توانید میزان تسلط خود را به مباحث ریاضی هشتم بیازمایید.