معادله اویلر مرتبه دوم – به زبان ساده

معادله اویلر مرتبه دوم

$$\large { { x ^ 2 } y ^ { \prime \prime } + A x y’ + B y = 0 , \; \; \; } \kern-0.3pt { { x \gt 0 } }$$

یک «معادله دیفرانسیل اویلر مرتبه دوم» (Euler Differential Equation) نامیده می‌شود. این معادله را می‌توان به یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با ضرایب ثابت کاهش داد. این کار از دو طریق قابل انجام است که در ادامه آن‌ها را معرفی می‌کنیم.

روش اول حل معادله اویلر مرتبه دوم

$$\large { y’ = \frac { { d y } } { { d x } } = \frac { { \frac { { d y } } { { d t } } } } { { \frac { { d x } } { { d t } } } } } = { \frac { { \frac { { d y } } { { d t } } } } { { { e ^ t } } } } = { { e ^ { – t } } \frac { { d y } } { { d t } } , }$$

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } & = \frac { d } { { d x } } \left ( { \frac { { d y } } { { d x } } } \right ) = { \frac { d } { { d x } } \left ( { { e ^ { – t } } \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } = { \frac { { \frac { d } { { d t } } } } { { \frac { { d x } } { { d t } } } } \left ( { { e ^ { – t } } \frac { { d y } } { { dt } } } \right) } \\ & = { \frac { { – { e ^ { – t } } \frac { { d y } } { { d t } } + { e ^ { – t } } \frac { { { d ^ 2 } y } } { { d { t ^ 2 } } }} } { { { e ^ t } } } } = { { e ^ { – 2 t } } \left ( { \frac { { { d ^ 2 } y }} { { d { t ^2 } } } – \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) . } \end {align*}$$

با قرار دادن این عبارت در معادله اویلر اصلی، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align*}<br /> \require {cancel} & { { \cancel { e ^ { 2 t } } \cancel { e ^ { – 2 t } } \left ( { \frac { { { d ^ 2 } y } } { { d { t ^ 2 } } } – \frac { { d y } } { { d t } } } \right ) } + { A \cancel { e ^ t } \cancel { e ^ { – t } } \frac { { d y } } { { d t } } + B y = 0 , \; \; } } \\ & \Rightarrow { { \frac { { { d ^ 2 } y } } { { d { t ^ 2 } } } – \frac { { d y } } { {d t } } } + { A \frac { { d y } } { { d t } } + B y = 0 , \; \; } } \Rightarrow { { \frac { { { d ^ 2 } y } } { { d { t ^ 2 } } } + \left ( { A – 1 } \right ) \frac { { d y } } { { d t } } } + { B y = 0 . } }<br /> \end {align*} $$