محاسبه رادیکال با فرجه ۳ – به زبان ساده با مثال و تمرین

$$\sqrt [ ۳ ] { ۶۴ }$$، یک عدد رادیکالی با فرجه $$۳$$ است. به منظور محاسبه حاصل این رادیکال، به دنبال عددی می‌گردیم که توان سوم آن با عدد زیر رادیکال ($$۶۴$$) برابر شود. این عدد، برابر با $$۴$$ است. زیرا:

$$۴ ^ ۳ = ۶۴$$

بنابراین:

$$\sqrt [ ۳ ] { ۶۴ } = ۴$$

$$۱ \times ۸۱ = ۸۱$$

$$۳ \times ۲۷ = ۸۱$$

$$۹ \times ۹ = ۸۱$$

هدف ما از این کار، پیدا کردن یک مکعب کامل در ضرب‌های بالا است. به عبارت دیگر، می‌خواهیم یک مکعب کامل از درون $$۸۱$$ بیرون بکشیم. از میان اعداد بالا، $$۲۷$$ یک مکعب کامل است $$( ۳ ^ ۳ = ۲۷ )$$. بنابراین، به جای عدد $$۸۱$$ در زیر رادیکال، $$۳ \times ۲۷$$ را قرار می‌دهیم:

$$\sqrt [ ۳ ] { ۸۱ } = \sqrt [ ۳ ] { ۳ \times ۲۷ }$$

$$\sqrt [ n ] { a \times b } = \sqrt [ n ] { a } \times \sqrt [ n ] { b }$$

به عبارت دیگر، رادیکال ضرب دو عدد با ضرب رادیکال‌های آن دو عدد برابر است. بنابراین، داریم:

$$\sqrt [ ۳ ] { ۳ \times ۲۷ } = \sqrt [ ۳ ] { ۳ } \times \sqrt [ ۳ ] { ۲۷ }$$

عبارت $$\sqrt [ ۳ ] { ۳ }$$، یک عدد رادیکالی گنگ است که امکان ساده‌سازی بیشتر آن وجود ندارد. با این وجود، در مثال ابتدای مطلب دیدیم که حاصل $$\sqrt [ ۳ ] { ۲۷ }$$ برابر با $$۳$$ می‌شود:

$$\sqrt [ ۳ ] { ۲۷ } = ۳$$

زیرا:

$$۳ ^ ۳ = ۲۷$$

در نتیجه:

$$\sqrt [ ۳ ] { ۸۱ } = \sqrt [ ۳ ] { ۳ } \times \sqrt [ ۳ ] { ۲۷ }$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۸۱ } = \sqrt [ ۳ ] { ۳ } \times ۳$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۸۱ } = ۳ \sqrt [ ۳ ] { ۳ }$$

عدد $$۳۴۳$$، یک عدد مکعب کامل است. برای به دست آوردن رادیکال این عدد با فرجه سه، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\sqrt [ ۳ ] { a } = a ^ { \frac { ۱ } { ۳ } }$$

• $$a$$: عدد زیر رادیکال برابر با $$۳۴۳$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۳۴۳ } = ۳۴۳ ^ { \frac { ۱ } { ۳ } }$$

$$۳۴۳ = ۷ ^ ۳$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۳۴۳ } = ۷ ^ { ۳ ^ { \frac { ۱ } { ۳ } } }$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۳۴۳ } = ۷ ^ { { \frac { ۳ } { ۳ } } }$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۳۴۳ } = ۷ ^ ۱ = ۷$$

در نتیجه، رادیکال $$۳۴۳$$ با فرجه $$۳$$ برابر با $$۷$$ است.

برای تبدیل $$۴ \sqrt [ ۳ ] { ۲ }$$ به یک عدد رادیکالی با فرجه $$۳$$، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\sqrt [ ۳ ] { a ^ ۳ b } = a \sqrt [ ۳ ]{ b }$$

• $$a$$: عدد غیررادیکالی برابر با $$۴$$
• $$b$$: عدد زیر رادیکال برابر با $$۲$$

مقادیر معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$۴ \sqrt [ ۳ ]{ ۲ } = \sqrt [ ۳ ] { ۴ ^ ۳ \times ۲ }$$

$$۴ ^ ۳ = ۶۴$$

$$۴ \sqrt [ ۳ ]{ ۲ } = \sqrt [ ۳ ] { ۶۴ \times ۲ }$$

$$۴ \sqrt [ ۳ ]{ ۲ } = \sqrt [ ۳ ] { ۱۲۸ }$$

در نتیجه، حاصل‌ضرب $$۴ \sqrt [ ۳ ] { ۲ }$$ برابر با رادیکال $$۱۲۸$$ با فرجه $$۳$$ است. عکس این فرآیند را می‌توان برای محاسبه رادیکال با فرجه $$۳$$ (در صورت مکعب کامل نبودن عدد زیر رادیکال) استفاده کرد.

برای محاسبه $$\sqrt [ ۳ ] { - ۱۲۵ }$$، ابتدا علامت منفی را به پشت رادیکال انتقال می‌دهیم:

$$\sqrt [ ۳ ] { - ۱۲۵ } = - \sqrt [ ۳ ] { ۱۲۵ }$$

در مرحله بعد، حاصل $$\sqrt [ ۳ ] { ۱۲۵ }$$ را به دست می‌آوریم. $$۱۲۵$$، مکعب کامل عدد $$۵$$ است؛ زیرا:

$$۵ ^ ۳ = ۱۲۵$$

در نتیجه، داریم:

$$\sqrt [ ۳ ] { - ۱۲۵ } = - ۵$$

برای اطمینان از نتیجه بالا، عدد $$- ۵$$ را سه بار در خودش ضرب کنید:

$$( - ۵ ) \times ( - ۵ ) \times ( - ۵ ) = ?$$

$$( - ۵ ) \times ( - ۵ ) = ۲۵$$

$$۲۵ \times ( - ۵ ) = - ۱۲۵$$

$$\sqrt [ ۳ ] { - ۱۲۵ } = - ۵ \ \ \ \checkmark$$

عبارت $$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲$$، توان دوم یک عبارت رادیکالی با فرجه سه را نمایش می‌دهد. برای محاسبه این عبارت، دو روش وجود دارد. روش اول، ساده‌سازی رادیکال و سپس به توان رساندن عبارت ساده شده است. بر اساس این روش داریم:

$$\sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } = \sqrt [ ۳ ] { ۸ \times ۵ }$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } = \sqrt [ ۳ ] { ۸ } \times \sqrt [ ۳ ] { ۵ }$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } = \sqrt [ ۳ ] { ۲ ^ ۳ } \times \sqrt [ ۳ ] { ۵ }$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } = ۲ \sqrt [ ۳ ] { ۵ }$$

$$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲ = \left ( ۲ \sqrt [ ۳ ] { ۵ } \right ) ^ ۲$$

$$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲ = ۴ \sqrt [ ۳ ] { ۵ ^ ۲ }$$

$$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲ = ۴ \sqrt [ ۳ ] { ۲۵ }$$

روش دوم، به توان رساندن رادیکال و سپس ساده‌سازی آن است. این روش به صورت زیر انجام می‌شود:

$$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲ = \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ ^ ۲ }$$

$$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲ = \sqrt [ ۳ ] { ۱۶۰۰ }$$

$$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲ = \sqrt [ ۳ ] { ۶۴ \times ۲۵ }$$

$$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲ = \sqrt [ ۳ ] { ۶۴ } \times \sqrt [ ۳ ] { ۲۵ }$$

$$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۴۰ } \right ) ^ ۲ = ۴ \sqrt [ ۳ ] { ۲۵ }$$

برای حل این مثال، از قوانین زیر استفاده می‌کنیم:

$$\sqrt [ n ] { a ^ m } = a ^ { \frac { m } { n } }$$

$$\left ( \sqrt [ n ] { a } \right ) ^ { m } = \sqrt [ n ] { a ^ m }$$

ابتدا به سراغ $$\sqrt { ۲۷ }$$ می‌رویم. این عبارت، رادیکال عدد $$۲۷$$ با فرجه $$۲$$ را نمایش می‌دهد. عدد $$۲۷$$، مربع کامل نیست. بنابراین، به صورت عدد صحیح از رادیکال خارج نمی‌شود. با این وجود می‌توانیم آن را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

$$\sqrt { ۲۷ } = ۲۷ ^ { \frac { ۱ } { ۲ } }$$

به این ترتیب، داریم:

$$\left ( \sqrt [ ۳ ] { ۲۷ ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } } \right ) ^ ۲$$

اکنون، توان را به درون رادیکال می‌بریم:

$$\sqrt [ ۳ ] { ۲۷ ^ { { \frac { ۱ } { ۲ } } ^ ۲ } }$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۲۷ ^ { { \frac { ۲ } { ۲ } } } }$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۲۷ }$$

در مثال‌های قبلی دیدیم که $$\sqrt [ ۳ ] { ۲۷ }$$ برابر با $$۳$$ است. بنابراین:

$$\left ( \sqrt [ ۳ ] { \sqrt { ۲۷ } } \right ) ^ ۲ = ۳$$

برای به دست آوردن ضرب $$\sqrt [ ۳ ] { ۳۶ }$$ در $$\sqrt [ ۳ ] { ۶ }$$، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\sqrt [ n ] { x } \cdot \sqrt [ n ] { y } = \sqrt [ n ] { x y }$$

بر اساس این فرمول، داریم:

$$\sqrt [ ۳ ] { ۳۶ } \cdot \sqrt [ ۳ ] { ۶ } = \sqrt [ ۳ ] { ۳۶ \times ۶ }$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۳۶ } \cdot \sqrt [ ۳ ] { ۶ } = \sqrt [ ۳ ] { ۶ ^ ۲ \times ۶ }$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۳۶ } \cdot \sqrt [ ۳ ] { ۶ } = \sqrt [ ۳ ] { ۶ ^ ۳ }$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۳۶ } \cdot \sqrt [ ۳ ] { ۶ } = ۶$$

برای محاسبه مقدار تقریبی $$\sqrt [ ۳ ] { ۱۲۸ }$$، ابتدا فرمول تقریب رادیکال را می‌نویسیم:

$$\sqrt [ n ] { a ^ n \pm b } = a \pm \frac { b } { n a ^ { n - ۱ } }$$

• $$n$$: فرجه رادیکال برابر با $$۳$$
• $$a ^ n$$: نزدیک‌ترین عدد به عدد زیر رادیکال که امکان نمایش آن به صورت $$۳$$ مرتبه ضرب $$a$$ در خودش وجود داشته باشد.
• $$b$$: اختلاف عدد زیر رادیکال با $$a ^ ۳$$

نزدیک‌ترین عدد به عدد زیر رادیکال $$( ۱۲۸ )$$ که بتوان آن را به صورت حاصل سه مرتبه ضرب عددی مانند $$a$$ در خودش نمایش داد، عدد $$۱۲۵$$ است. این عدد، به صورت حاصل سه مرتبه ضرب عدد $$۵$$ در خودش قابل نمایش است:

$$۱۲۵ = ۵ \times ۵ \times ۵ = ۵ ^ ۳$$

بنابراین:

$$a ^ ۳ = ۱۲۵$$

$$a = ۵$$

به این ترتیب، پارامتر $$b$$، اختلاف عدد زیر رادیکال $$( ۱۲۸ )$$ منهای $$۱۲۵$$ خواهد بود:

$$b = ۱۲۸ - ۱۲۵ = ۳$$

این مقادیر را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$\sqrt [ ۳ ] { ۵ ^ ۳ + ۳ } = ۵ + \frac { ۳ } { ۳ \times ۵ ^ { ۳ - ۱ } }$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۵ ^ ۳ + ۳ } = ۵ + \frac { ۱ } { ۵ ^ { ۲ } }$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۵ ^ ۳ + ۳ } = ۵ + \frac { ۱ } { ۲۵ }$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۵ ^ ۳ + ۳ } = ۵ + ۰/۰۴$$

$$\sqrt [ ۳ ] { ۵ ^ ۳ + ۳ } = ۵/۰۴$$

در نتیجه، مقدار تقریبی رادیکال $$۱۲۸$$ با فرجه $$۳$$ برابر با $$۵/۰۴$$ است. البته نتیجه این محاسبات، دقت بسیار بالایی دارد. برای درک میزان خطا، آن را با $$۵/۰۳۹۶۸$$ (مقدار به دست آمده از ماشین‌حساب) مقایسه کنید.

برای به دست آوردن مقدار $$\sqrt [ ۵ ] { ۲۴۳ }$$، باید به دنبال عددی بگردیم که توان پنجم آن برابر با $$۲۴۳$$ شود. این عدد، $$۳$$ است.

$$۳ ^ ۵ = ۳ \times ۳ \times ۳ \times ۳ \times ۳ = ۲۴۳$$

بنابراین:

$$\sqrt [ ۵ ] { ۲۴۳ } = ۳$$

در نتیجه، رادیکال $$۲۴۳$$ با فرجه $$۵$$ برابر با $$۳$$ است.