عامل انتگرال ساز در معادلات دیفرانسیل – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

عامل انتگرال ساز

معادله دیفرانسیل به‌فرم زیر را در نظر بگیرید:

$$\large { P \left( { x , y } \right) d x + Q \left( { x , y } \right) d y } = { 0 , }$$

که در آن، $$P\left( {x,y} \right)$$ و $$Q\left( {x,y} \right)$$ توابعی از دو متغیر پیوسته $$x$$ و $$y$$ در ناحیه معین $$D$$ هستند. اگر داشته باشیم:

 $$\large \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } \ne \frac { { \partial P } } { { \partial y } } ,$$

معادله دیفرانسیل، کامل نیست. در این مواقع می‌توانیم عبارتی موسوم به «عامل انتگرال‌ساز» (Integrating Factor) را پیدا کنیم که تابعی به‌فرم $$\mu \left( {x,y} \right)$$ است و بعد از ضرب، معادله دیفرانسیل را به یک معادله دیفرانسیل کامل تبدیل می‌کند؛ به‌گونه‌ای که تساوی زیر برقرار باشد:

$$\large { \frac { { \partial \left( { \mu Q \left( { x , y } \right) } \right) } } { { \partial x } } } = { \frac { { \partial \left( { \mu P\left( { x , y } \right) } \right) } } { { \partial y } } }$$

شرط بالا را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$\large { { Q \frac { { \partial \mu } } { { \partial x } } + \mu \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } = { P\frac { { \partial \mu } } { { \partial y } } + \mu \frac { { \partial P } } { { \partial y}},\;\;}} \\ \large \Rightarrow { { Q\frac { { \partial \mu } } { { \partial x } } – P\frac { { \partial \mu } } { { \partial y } } } = { \mu \left( {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} – \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}} \right).}}$$

متأسفانه یک روش عمومی برای یافتن عامل انتگرال‌ساز وجود ندارد. هرچند، حالت‌های خاصی از معادلات دیفرانسیل جزئی را می‌توان حل کرد و عامل انتگرال‌ساز را به‌دست آورد. در ادامه، چند مورد از این حالت‌ها را بررسی می‌کنیم.

عامل انتگرال‌ساز به متغیر $$\Large x$$ وابسته است ($$\Large \mu = \mu (x)$$)

در این حالت، $${\large\frac{{\partial \mu }}{{\partial y}}\normalsize} = 0$$ است، بنابراین، معادله را برای $$\mu \left( {x,y} \right)$$ می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$\large { \frac { 1 } { \mu }\frac { { d \mu } } { { d x } } } = { \frac { 1 } { Q } \left( { \frac { { \partial P } } { { \partial y } } – \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } \right) . }$$

سمت راست معادله اخیر باید تابعی از فقط $$x$$ باشد. تابع $$\mu \left( x \right)$$ با انتگرال‌گیری از معادله آخر به‌دست می‌آید.

عامل انتگرال‌ساز به متغیر $$\Large y$$ وابسته است ($$\Large \mu = \mu (y)$$)

مشابه حالت قبل، اگر تساوی $${\large\frac{{\partial \mu }}{{\partial y}}\normalsize} = 0$$ برقرار باشد،‌ معادله دیفرانسیل معمولی زیر را برای عامل انتگرال‌ساز $$\mu$$ خواهیم داشت:

$$\large { \frac { 1 } { \mu } \frac { { d \mu } } { { d y } } } = { -\frac { 1 } { P }\left( {\frac { { \partial P } } { { \partial y } } – \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } \right) }$$

که سمت راست آن تنها به $$y$$ وابسته است. تابع $$\mu \left( y \right)$$ را می‌توان با انتگرال‌گیری از معادله به‌دست آورد.

عامل انتگرال‌ساز به ترکیب خاصی از متغیرهای $$\Large x$$ و $$\Large y$$ وابسته است ($$\Large \mu = \mu (z(x,y))$$)

برای مثال، تابع جدید $${z\left( {x,y} \right)}$$ زیر در این دسته قرار دارد:

$$\large { z = \frac { x } { y },\;\;\;}\kern-0.3pt{z = xy,\;\;\;}\kern0pt{z = { x ^ 2 } + { y ^ 2 },\;\;\;}\kern0pt{ z = x + y. }$$

آنچه در این‌جا اهمیت دارد، آن است که عامل انتگرال‌ساز $$\mu \left( {x,y} \right)$$ به‌صورت تابعی از متغیر $$z$$ درمی‌آید:

$$\large \mu \left( {x,y} \right) = \mu \left( z \right)$$

و می‌توان آن را با استفاده از معادله دیفرانسیل زیر به‌دست آورد:

$$\large { \frac { 1 } { \mu } \frac { { d \mu } } { { d z } } } = { \frac { { \frac { { \partial P } } { { \partial y } } – \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } } { { Q \frac { { \partial z } } { { \partial x } } – P\frac { { \partial z } } { { \partial y } } } } . }$$

فرض می‌کنیم سمت راست معادله فقط به $$z$$ وابسته بوده و مخرج، صفر نباشد.

مثال‌ها

در ادامه، مثال‌هایی را به‌فرم معادله دیفرانسیلِ

$$\large { P\left( { x , y } \right) d x + Q \left( { x , y } \right)dy }={ 0 , }$$

بیان می‌‌کنیم که می‌توان عامل انتگرال‌ساز آن‌ها محاسبه کرد. شرایط عمومی وجود یک عامل انتگرال‌ساز، از قضیه «گروه‌های لی» (Lie Group) به‌دست می‌آید.

مثال ۱

معادله دیفرانسیل $$\left( {1 + {y^2}} \right)dx +xydy = 0$$ را حل کنید.

حل: ابتدا کامل بودن معادله دیفرانسیل را آزمایش می‌کنیم:

$$\large { { \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } = { \frac { \partial } { { \partial x } } \left( { x y } \right) } = { y,\;\;}}\kern0pt { { \frac { { \partial P } } { { \partial y } } } = { \frac { \partial } { { \partial y } } \left( { 1 + { y ^ 2 } } \right) }={ 2 y . } }$$

همان‌طور که می‌بینیم، این معادله کامل نیست. بنابراین، عامل انتگرال‌ساز را برای کامل شدن آن پیدا می‌کنیم.

عبارت زیر را محاسبه می‌کنیم:

$$\large { \frac { { \partial P } } { { \partial y } } – \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } = { 2 y – y = y . }$$

معادله زیر فقط به متغیر $$x$$ وابسته است:

$$\large { \frac { 1 } { Q }\left( {\frac { { \partial P } } { { \partial y } } – \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } \right) } = { \frac { 1 } { { x y } } \cdot y } = { \frac{1}{x}}$$

بنابراین، عامل انتگرال‌ساز نیز فقط بر حسب $$x$$ خواهد بود: $$\mu = \mu \left( x \right)$$. معادله عامل انتگرال‌ساز به‌صورت زیر است:

$$\large \frac { 1 } { \mu } \frac { { d \mu } } { { d x } } = \frac { 1 } { x }.$$

با جداسازی متغیرها و انتگرال‌گیری داریم:

$$\large { \int { \frac { { d \mu } } { \mu } } = \int { \frac { { d x } } { x } } ,\;\;}\Rightarrow {\ln \left| \mu \right| = \ln \left| x \right|,\;\;}\Rightarrow { \mu = \pm x.}$$

تساوی $$\mu = x$$ را در نظر می‌گیریم. با ضرب معادله دیفرانسیل اصلی در $$\mu = x$$، معادله کامل می‌شود:

$$\large \left( {x + x { y ^ 2 } } \right) d x + { x ^ 2 } y d y = 0.$$

در واقع، اکنون داریم:

$$\large { \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } = \frac { \partial } { { \partial x } } \left( { { x ^ 2 } y } \right) } = { 2 x y } = { \frac { { \partial P } } { { \partial y } } } = { \frac { \partial } { { \partial y } } \left( { x + x { y ^ 2 } } \right) }={ 2 x y . }$$

معادله حاصل را حل می‌کنیم. تابع $$u\left( {x,y} \right)$$ را می‌توان از دستگاه معادلات زیر به‌دست آورد:

$$\large \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = x + x{y^2}\\ \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = {x^2}y \end{array} \right..$$

از معادله اول می‌توان نوشت:

$$\large {u\left( {x,y} \right) = \int {\left( {x + x{y^2}} \right)dx} }={ \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} + \varphi \left( y \right).}$$

با جایگذاری این معادله در معادله دوم، می‌توانیم $$\varphi \left( y \right)$$ را محاسبه کنیم:‌

$$\large {{\frac{{\partial u}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} + \varphi \left( y \right)} \right] }={ {x^2}y,\;\;}} \\ \large \Rightarrow { {x^2}y + \varphi’\left( y \right) = {x^2}y,\;\;}\Rightarrow { \varphi’\left( y \right) = 0.}$$

از معادله بالا $$\varphi \left( y \right) = C$$ به‌دست می‌آید که در آن $$C$$ یک ثابت است.

بنابراین، جواب عمومی معادله دیفرانسیل اصلی برابر است با:

$$\large {\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} }+{ C }={ 0.}$$

مثال ۲

معادله دیفرانسیل $$\left( {x – \cos y} \right)dx- \sin ydy= 0$$ را حل کنید.

حل: ابتدا کامل بودن این معادله را بررسی می‌کنیم:

$$\large {{\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( { – \sin y} \right) }={ 0,\;\;}}\kern-0.3pt {{\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {x – \cos y} \right) }={ \sin y.}}$$

می‌بینیم که معادله کامل نیست. بنابراین، عامل انتگرال‌ساز را به‌دست می‌آوریم. عبارت‌های زیر را می‌نویسیم:

$$\large \frac{{\partial P}}{{\partial y}} – \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \sin y,$$

و

$$\large {\frac{1}{Q}\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} – \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}} \right) }={ \frac{{\sin y}}{{\left( { – \sin y} \right)}} }={ – 1}$$

که برابر با عدد ثابتی است.

بنابراین، می‌توانیم عامل انتگرال‌ساز را با تابع $$\mu \left( x \right)$$ نشان داده و با حل معادله زیر به‌دست آوریم:

$$\large {\frac{1}{\mu }\frac{{d\mu }}{{dx}} = – 1,\;\;}\Rightarrow {\int {\frac{{d\mu }}{\mu }} = – \int {dx} ,\;\;}\\ \large \Rightarrow {\ln \left| \mu \right| = – x,\;\;}\Rightarrow {\mu = {e^{ \pm x}}.}$$

تابع $$\mu = {e^{ – x}}$$ را انتخاب می‌کنیم و مطمئن می‌شویم که معادله با ضرب در $$\mu = {e^{ – x}}$$ کامل شود:

$$\large {{e^{ – x}}\left( {x – \cos y} \right)dx }-{ {e^{ – x}}\sin ydy }={ 0,}$$

$$\large {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left( { – {e^{ – x}}\sin y} \right) }={ {e^{ – x}}\sin y } \\ \large = {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} }={ \frac{\partial }{\partial }\left( {{e^{ – x}}\left( {x – \cos y} \right)} \right) }={ {e^{ – x}}\sin y.}$$

جواب عمومی را می‌توان از دستگاه معادلات زیر به‌دست آورد:

$$\large \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = {e^{ – x}}\left( {x – \cos y} \right)\\ \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = – {e^{ – x}}\sin y \end{array} \right..$$

ساده‌تر است که از معادله دوم نسبت به $$y$$ انتگرال بگیریم:

$$\large {u\left( {x,y} \right) }={ \int {\left( { – {e^{ – x}}\sin y} \right)dy} }={ {e^{ – x}}\cos y + \psi \left( x \right).}$$

با جایگذاری عبارت اخیر در معادله اول دستگاه، داریم:

$$ \large \require{cancel}<br /> {{\frac{{\partial u}}{{\partial x}} }={ \frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {{e^{ – x}}\cos y + \psi \left( x \right)} \right] }={ {e^{ – x}}\left( {x – \cos y} \right),\;\;}}\\ \large \Rightarrow<br /> {{ – \cancel{{e^{ – x}}\cos y} + \psi’\left( x \right) }={ x{e^{ – x}} – \cancel{{e^{ – x}}\cos y},\;\;}}\Rightarrow<br /> { \psi’\left( x \right) = x{e^{ – x}}.} $$