توزیع و متغیر تصادفی رایلی (Rayleigh Distribution) – به زبان ساده

توزیع و متغیر تصادفی رایلی

تابع احتمال و توزیع رایلی

اگر متغیر تصادفی $$X$$ دارای تابع توزیع به فرم زیر باشد، توزیع رایلی نامیده می‌شود.

$$\large f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},\quad x\geq 0$$

مقدار $$\sigma$$ را پارامتر مقیاس (Scale Parameter) برای این توزیع می‌گویند. در این حالت می‌نویسیم $$X\sim \operatorname{Rayleigh}(\sigma)$$ است و می‌خوانیم متغیر تصادفی $$X$$ دارای توزیع رایلی با پارامتر سیگما است.

تابع توزیع احتمال تجمعی، برای توزیع متغیر تصادفی رایلی با پارامتر $$\sigma$$ به شکل زیر نوشته می‌شود.

$$\large F(x;\sigma )=1-e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},\;\;x\in [0,\infty)$$

نمودار تابع توزیع احتمال تجمعی در تصویر زیر دیده می‌شود.

برای ارتباط این توزیع با بردارهای تصادفی دو بُعدی $$Y=(U,V)$$، حالتی را در نظر بگیرید، که هر یک از آن‌ها دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس برابر هستند.

$$\large {\displaystyle f_{U}(x;\sigma )=f_{V}(x;\sigma )={\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}}$$

مولفه $$X$$ را طول بردار $$Y$$ در نظر بگیرید. به این ترتیب خواهیم داشت:

$$\large {\displaystyle X={\sqrt {U^{2}+V^{2}}}}$$

آنگاه تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی $$X$$ به صورت زیر نوشته خواهد شد.

$$\large {\displaystyle F_{X}(x;\sigma )=\iint _{D_{x}}f_{U}(u;\sigma )f_{V}(v;\sigma )\,dA,}$$

که در آن $$D_x$$ دیسکی است که به صورت