استقلال انتگرال از مسیر – به زبان ساده

تعریف

میدانی برداری هم‌چون $$F$$ را به صورت زیر در نظر بگیرید.

$$\large \overrightarrow { F } = P \overrightarrow { i } + Q \overrightarrow { j } + R \overrightarrow { k }$$

زمانی انتگرال خطی میدان فوق مستقل از مسیر است که توابع $$P , Q$$ و $$R$$ پیوسته بوده و تابعی اسکالر هم‌چون $$u$$ وجود داشته باشد که رابطه زیر در آن صدق کند.

$$\large {{\overrightarrow{F} = \nabla u\;\;\;}\kern-0.3pt{ \Rightarrow \;\;\frac { { \partial u } }{ { \partial x } } = P,\;\;\;} \kern-0.3pt { \frac { { \partial u } }{ { \partial y } } = Q,\;\;\;}\kern-0.3pt { \frac { { \partial u } } { { \partial z}} = R }}$$

$$\large \begin {align*} \int \limits _ C { \overrightarrow { F } \left ( \overrightarrow{r} \right) \cdot d \overrightarrow { r } } & = { \int \limits _ C { P d x + Q d y + R d z } } \\ & = { u \left ( B \right ) – u \left ( A \right ) } \end {align*}$$

هم‌چنین اگر حاصل انتگرال خطی به صورت مستقل از مسیر در نظر گرفته شود در این صورت می‌توان گفت که حاصل آن روی یک مسیر بسته برابر با صفر است. در حقیقت می‌توان رابطه زیر را عنوان کرد.

$$\large \begin {align*} \oint \limits _ C {\overrightarrow { F } \left ( \overrightarrow { r } \right ) \cdot d \overrightarrow { r } = 0} \end {align*}$$

در این صورت به میدان برداریِ $$\overrightarrow { F } =\overrightarrow { \nabla } u$$، میدان برداری پایستار یا میدان برداری پایسته گفته می‌شود و تابع $$u = u \left ( { x , y , z } \right )$$ تحت عنوان تابع پتانسیل شناخته می‌شود.

آزمونِ میدان برداری پایستار

انتگرال خطی میدان برداری $$\overrightarrow { F } = P \overrightarrow{ i } + Q \overrightarrow{j}$$ زمانی مستقل از مسیر است که دترمینان زیر برابر با صفر باشد.

$$ \large {{\nabla× \overrightarrow{F} } = { \left| {\begin {array} {*{20}{ c } } \overrightarrow { i } & \overrightarrow { j } & \overrightarrow { k } \\ {\large { \frac { \partial } { { \partial x }} } } &{\large{\frac { \partial } { { \partial y } } } } & { \large { \frac{\partial } { { \partial z }} } } \\ P & Q & R \end{array}} \right| } = { \overrightarrow { 0 }} } $$