سیگنال ها و سیستم ها – دکتر بابایی زاده – دانشگاه شریف | همه جلسات +‌ خلاصه

دوره سیگنال‌ ها و سیستم‌ ها دکتر بابایی زاده

دوره سیگنال‌ها و سیستم‌ها با تدریس دکتر مسعود بابایی‌زاده از کلاس‌های دانشگاه صنعتی شریف است که مباحث اصلی این درس را در سطح کارشناسی پوشش می‌دهد. این دوره شامل ۲۴ جلسه است و مطالب آن با تعریف و بررسی ویژگی‌های سیگنال و سیستم آغاز می‌شود و در ادامه به ابزارهای مهم تحلیل سیگنال‌ها و سیستم‌ها می‌رسد. مهم‌ترین مباحث درس سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده عبارت‌اند از:

• تعریف و انواع سیگنال‌های پیوسته و گسسته
• ویژگی‌ها و دسته‌بندی سیستم‌ها
• سیستم‌های خطی و تغییرناپذیر با زمان
• پاسخ ضربه و کانولوشن
• سری فوریه
• تبدیل فوریه
• نمونه‌برداری از سیگنال
• تبدیل لاپلاس
• تبدیل Z
• تحلیل سیستم‌ها در حوزه زمان و فرکانس

در ابتدای دوره، دانشجویان با انواع سیگنال‌های پیوسته و گسسته و ویژگی‌های سیستم‌ها آشنا می‌شوند. سپس سیستم‌های خطی و تغییرناپذیر با زمان و مفهوم کانولوشن بررسی می‌شود. این مباحث پایه لازم برای ورود به تحلیل حوزه فرکانس را فراهم می‌کنند. در ادامه، سری فوریه و تبدیل فوریه برای تحلیل محتوای فرکانسی سیگنال‌ها مطرح می‌شود. تبدیل لاپلاس و تبدیل Z نیز از دیگر ابزارهایی هستند که برای تحلیل سیستم‌های پیوسته و گسسته بکار می‌روند. در طول این دوره، مفاهیم ریاضی همراه با مثال‌ها و مسائل مختلف بررسی می‌شوند تا نحوه استفاده از روابط در تحلیل سیگنال و سیستم بهتر مشخص شود.

در ادامه این مطلب، جلسات دوره را به‌ترتیب بررسی می‌کنیم. برای هر جلسه، ابتدا فیلم آموزشی آن قرار داده شده است و سپس خلاصه‌ای کاربردی از محتوای همان جلسه ارائه می‌شود تا بتوانید مطالب تدریس‌ شده را سریع‌تر مرور کنید. به این ترتیب این مطلب می‌تواند در کنار فیلم‌های دوره به‌عنوان یک راهنمای کامل در مرور درس سیگنال‌ها و سیستم‌ها برای دانشجویان استفاده شود.

جلسه اول: آشنایی با سیگنال‌ها و سیستم‌ها

در جلسه اول، ابتدا مفهوم سیگنال و سیستم تعریف می‌شود. از دید ریاضیات، سیگنال تابعی از یک یا چند متغیر مستقل است که می‌تواند کمیت‌های مختلفی مانند ولتاژ، جریان، سرعت یا حتی نرخ ارز را نمایش دهد. سیستم نیز یک یا چند سیگنال را به‌عنوان ورودی دریافت می‌کند و در پاسخ، یک یا چند سیگنال خروجی تولید می‌کند.

یکی از نکات مهم این جلسه، نگاه ریاضیاتی به سیگنال‌ها و سیستم‌ها، مستقل از ماهیت فیزیکی آن‌ها است. برای مثال، مدار الکتریکی، خودرو یا یک سیستم اقتصادی را می‌توان با چارچوب مشترکی بررسی کرد. در این درس به‌ جای تمرکز بر ماهیت سیگنال، بیشتر با مدل ریاضی آن سروکار داریم. همچنین به اهمیت نگاه فرکانسی به سیگنال‌ها نیز اشاره می‌شود. یکی از ایده‌های اصلی درس این است که بسیاری از سیگنال‌ها را می‌توان به‌صورت ترکیبی از سیگنال‌های سینوسی در نظر گرفت. این دیدگاه در ادامه به مباحث فوریه می‌رسد و تحلیل پاسخ سیستم‌ها را ساده‌تر می‌کند.

فیلم آموزش تجزیه‌ و تحلیل سیگنال‌ و سیستم‌ ها در فرادرس

کلیک کنید

بطور خلاصه، مهم‌ترین نکات مطرح‌ شده در این جلسه عبارت‌اند از:

• سیستم‌های مورد بررسی در بخشی از این درس، خطی و تغییرناپذیر با زمان هستند. تعریف دقیق این ویژگی‌ها در ادامه بررسی می‌شود.
• در تحلیل سیستم، سیستم و سیگنال ورودی مشخص هستند و هدف تعیین خروجی است.
• در طراحی سیستم، سیستمی با عملکرد موردنظر برای پردازش ورودی طراحی می‌شود.
• خروجی یک سیستم لزوما فقط به مقدار ورودی در همان لحظه وابسته نیست و ممکن است به مقادیر ورودی در زمان‌های دیگر نیز بستگی داشته باشد.
• متغیر مستقل یک سیگنال همیشه زمان نیست. برای مثال، توزیع بار الکتریکی روی یک میله می‌تواند تابع مکان باشد.
• انواع سیگنال‌ها از نظر متغیر مستقل به دو گروه اصلی زمان‌پیوسته و زمان‌گسسته تقسیم می‌شوند.
• سیگنال زمان‌گسسته می‌تواند ذاتا گسسته باشد یا از نمونه‌برداری یک سیگنال پیوسته حاصل شود.
• در نمونه‌برداری، تحت شرایط مشخص می‌توان نمونه‌های یک سیگنال پیوسته را برداشت و همچنان امکان بازسازی سیگنال اصلی را حفظ کرد.

در پایان جلسه نیز نحوه نمایش سیگنال‌های زمان‌پیوسته و زمان‌گسسته روی نمودار توضیح داده می‌شود. در مورد سیگنال‌های زمان‌گسسته، مقادیر سیگنال تنها در نقاط گسسته متغیر مستقل نمایش داده می‌شوند، در حالی که سیگنال زمان‌پیوسته روی یک بازه پیوسته تعریف می‌شود.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۱

یادگیری سیگنال ها و سیستم ها با فرادرس

• فیلم آموزش پردازش سیگنال دیجیتال DSP فرادرس
• فیلم آموزش پردازش سیگنال های دیجیتال DSP – مرور و حل مساله فرادرس

جلسه دوم: سیگنال‌های سینوسی گسسته، ضربه و پله واحد

در جلسه دوم سیگنال‌ ها و سیستم‌ ها دکتر بابایی زاده، ابتدا سیگنال‌های نمایی و سینوسی در زمان‌ گسسته بررسی خواهند شد و تفاوت آن‌ها با سیگنال‌های زمان‌پیوسته نیز توضیح داده می‌شود. برخلاف حالت پیوسته، یک سیگنال سینوسی گسسته لزوما تناوبی نیست، بلکه برای تناوبی بودن این سیگنال، فرکانس آن باید شرایط مشخصی داشته باشد. به‌طور خاص، فرکانس زاویه‌ای باید ضریب گویایی از عدد پی باشد. همچنین در این جلسه به کمک چند مثال، روش تشخیص تناوبی بودن سیگنال و محاسبه دوره تناوب آن ارائه می‌شود.

دقت کنید یکی دیگر از تفاوت‌های مهم این است که در زمان‌‌ گسسته، افزایش فرکانس زاویه‌ای لزوما باعث افزایش نوسانات سیگنال نمی‌شود. سیگنال گسسته نسبت به فرکانس زاویه‌ای نیز رفتار تناوبی دارد و فرکانس‌هایی که به اندازه مضرب صحیحی از $$2\pi$$ با یکدیگر اختلاف دارند، سیگنال یکسانی ایجاد می‌کنند.

مهم‌ترین نکات مطرح‌ شده در این جلسه عبارت‌اند از:

• سیگنال سینوسی زمان‌گسسته برخلاف حالت پیوسته همیشه تناوبی نیست.
• در سیگنال‌های گسسته، بیشترین شدت نوسان در حدود فرکانس $$\pi$$ رخ می‌دهد و $$2\pi$$ مجددا معادل فرکانس صفر است.
• فرکانس زاویه‌ای در حالت پیوسته و گسسته ماهیت یکسانی ندارد.
• فرکانس در حالت پیوسته دارای بعد معکوس زمان است، اما در حالت گسسته کمیتی بدون بعد در نظر گرفته می‌شود.
• یک سیگنال تناوبی زمان‌گسسته با دوره $$N$$، فقط $$N$$ هارمونیک متمایز دارد. این موضوع با حالت پیوسته متفاوت است که در آن تعداد هارمونیک‌های متمایز نامحدود است.

همچنین در ادامه جلسه دوم، سیگنال‌های ضربه‌واحد و پله‌واحد در زمان گسسته معرفی می‌شوند. ضربه‌واحد فقط در $$n=0$$ مقدار یک دارد و در سایر نقاط صفر است. پله واحد نیز برای $$n\geq0$$ برابر با یک و برای مقادیر منفی $$n$$ برابر با صفر است. این دو سیگنال با هم ارتباط دارند، به این صورت که ضربه‌واحد را می‌توان از اختلاف دو پله‌واحد با یک واحد جابجایی به‌دست آورد. در جهت عکس نیز با جمع کردن ضربه‌ها تا نمونه فعلی می‌توان سیگنال پله را ساخت. این مفهوم مقدمه‌ای است برای معرفی سیستم جمع‌کننده یا Accumulator که مقادیر گذشته ورودی را تا نمونه فعلی با یکدیگر جمع می‌کند.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۲

جلسه سوم: معرفی سیستم‌ها و بررسی ویژگی‌های آن‌ها

در جلسه سوم سیگنال‌ ها و سیستم‌ ها دکتر بابایی زاده، مفهوم سیستم با جزئیات بیشتری بررسی می‌شود. از دیدگاه ریاضیات، سیستم یک سیگنال ورودی را دریافت می‌کند و آن را به سیگنال خروجی تبدیل می‌کند. البته یک سیستم می‌تواند چند ورودی یا خروجی داشته باشد، اما تمرکز اصلی درس روی سیستم‌های تک‌ورودی و تک‌خروجی است.

در دو جلسه قبل یاد گرفتیم که سیستم‌ها بر اساس نوع سیگنال ورودی و خروجی می‌توانند زمان‌پیوسته، زمان‌گسسته یا ترکیبی از این دو باشند. بخش عمده‌ای از این جلسه، اختصاص دارد به بررسی سیستم‌های زمان‌پیوسته و زمان‌گسسته. سیستم‌های ترکیبی بیشتر در مبحث نمونه‌برداری کاربرد دارند. همچنین روش‌های مختلف اتصال سیستم‌ها معرفی می‌شوند:

• در اتصال سری، خروجی یک سیستم به ورودی سیستم بعدی داده می‌شود.
• در اتصال موازی، یک ورودی به چند سیستم داده می‌شود و خروجی آن‌ها با یکدیگر ترکیب می‌شود.
• در اتصال فیدبک، بخشی از خروجی سیستم دوباره به ورودی بازگردانده می‌شود. این نوع اتصال در مباحثی مانند الکترونیک و کنترل اهمیت زیادی دارد.

بخش اصلی جلسه به معرفی ویژگی‌های سیستم‌ها اختصاص دارد. اولین ویژگی، حافظه‌دار بودن یا بدون حافظه بودن است. اگر خروجی یک سیستم در هر لحظه فقط به ورودی همان لحظه وابسته باشد، آن سیستم بدون حافظه است. اگر برای تعیین خروجی به مقادیر ورودی در زمان‌های دیگر نیاز داشته باشیم، سیستم حافظه‌دار محسوب می‌شود.

• سیستم بدون حافظه همواره علی است.
• سیستمی که خروجی آن به مقدار آینده ورودی وابسته باشد، غیرعلی است.
• اگر متغیر مستقل واقعا زمان فیزیکی باشد، سیستم‌های قابل پیاده‌سازی در زمان واقعی باید علی باشند.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۳

جلسه چهارم: سیستم‌های LTI و کانولوشن

فیلم آموزش سیستم‌های LTI در تجزیه‌و‌تحلیل سیگنال‌ها در فرادرس

کلیک کنید

• یکی از ویژگی‌های مهم سیستم LTI این است که با دانستن پاسخ ضربه می‌توان پاسخ سیستم به ورودی‌های دیگر را تعیین کرد.
• هر سیگنال زمان‌گسسته را می‌توان به‌صورت مجموعی از ضربه‌های واحد جابجا شده و وزن‌دار نمایش داد.
• به نحوه نمایش سیگنال با استفاده از ضربه‌ها، خاصیت غربالی یا Sifting Property گفته می‌شود.
• به دلیل خطی بودن سیستم، پاسخ به مجموع ضربه‌ها برابر با مجموع پاسخ سیستم به هر ضربه است.
• به دلیل تغییرناپذیری با زمان، جابجایی ضربه ورودی باعث جابجایی مشابه در پاسخ ضربه می‌شود.

ترکیب این دو ویژگی به رابطه کانولوشن می‌رسد که امکان محاسبه خروجی سیستم LTI از روی ورودی و پاسخ ضربه را فراهم می‌کند. در ادامه، روش محاسبه کانولوشن در زمان گسسته با چند مثال توضیح داده می‌شود. برای محاسبه خروجی، یکی از سیگنال‌ها نسبت به متغیر جمع معکوس و سپس جابجا می‌شود. پس از آن، مقادیر دو سیگنال به‌صورت نقطه‌ به‌ نقطه در یکدیگر ضرب و حاصل آن‌ها جمع می‌شود. در پایان نیز کانولوشن برای نمونه‌هایی مانند سیگنال پله‌واحد و یک سیگنال نمایی محاسبه می‌شود تا نحوه استفاده عملی از مجموع کانولوشن برای تعیین خروجی سیستم‌های LTI مشخص شود.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۴

جلسه پنجم: ویژگی‌های سیستم‌های LTI با استفاده از پاسخ ضربه

پنجمین جلسه سیگنال‌ ها و سیستم‌ ها دکتر بابایی زاده، مبحث سیستم‌های خطی و تغییرناپذیر با زمان یا LTI و کانولوشن ادامه پیدا می‌کند. ابتدا یادآوری می‌شود که اگر پاسخ ضربه یک سیستم LTI را بدانیم، می‌توانیم پاسخ آن به هر ورودی دیگری را با استفاده از کانولوشن به‌دست آوریم. همچنین برخی ویژگی‌های کانولوشن مانند جابجایی و شرکت‌پذیری مرور می‌شوند.

یکی از نکات مهم این بخش، توجه به شرایط استفاده از خواص کانولوشن است. برای مثال، در اتصال سری دو سیستم LTI تنها زمانی می‌توان بدون مشکل از خواصی مانند جابجایی استفاده کرد که کانولوشن‌های موردنظر وجود داشته باشند و اتصال سیستم‌ها نیز رفتار هر سیستم را تغییر ندهد. نحوه تشخیص ویژگی‌های مختلف یک سیستم LTI تنها با استفاده از پاسخ ضربه بررسی می‌شود:

• یک سیستم LTI زمانی بدون حافظه است که پاسخ ضربه آن فقط در مبدا مقدار داشته باشد و در سایر نقاط صفر باشد.
• چنین سیستمی در ساده‌ترین حالت فقط ورودی را در یک مقدار ثابت ضرب می‌کند.
• یک سیستم LTI زمانی معکوس‌پذیر است که بتوان سیستم دیگری پیدا کرد که اتصال آن با سیستم اصلی، سیستم همانی را ایجاد کند.
• از دید پاسخ ضربه، کانولوشن پاسخ ضربه سیستم اصلی با پاسخ ضربه سیستم معکوس باید برابر ضربه واحد شود.
• سیستم ایجادکننده تاخیر معکوس‌پذیر است و معکوس آن با جابجایی سیگنال در جهت مخالف به‌دست می‌آید.
• سیستم جمع‌کننده یا Accumulator نیز معکوس‌پذیر است. معکوس آن یک سیستم تفاضلی است که اختلاف دو نمونه متوالی را محاسبه می‌کند.

در بخش پایانی این جلسه، علیت سیستم‌های LTI بررسی می‌شود. اگر سیستم علی باشد، پاسخ آن نمی‌تواند پیش از اعمال ورودی ظاهر شود. بنابراین پاسخ ضربه یک سیستم LTI علی برای زمان‌های قبل از صفر باید برابر صفر باشد. این ویژگی امکان تشخیص علی بودن سیستم را مستقیما از روی پاسخ ضربه فراهم می‌کند.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۵

جلسه ششم: توصیف‌ سیستم‌ با معادلات دیفرانسیل

در جلسه ششم، سیستم‌هایی بررسی می‌شوند که رابطه ورودی و خروجی آن‌ها با معادلات دیفرانسیل یا تفاضلی خطی با ضرایب ثابت توصیف می‌شود. معادلات دیفرانسیل برای سیستم‌های زمان‌پیوسته و معادلات تفاضلی برای سیستم‌های زمان‌گسسته بکار می‌روند. مدارهای الکتریکی خطی مانند مدارهای RC نیز نمونه‌ای از این سیستم‌ها هستند.

برای تعیین خروجی چنین سیستمی، داشتن معادله دیفرانسیل به‌تنهایی کافی نیست و به شرایط اولیه نیز نیاز داریم. برای مثال، حل یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول به یک شرط اولیه نیاز دارد. در واقع شرایط اولیه مشخص می‌کنند که از بین جواب‌های ممکن معادله، کدام پاسخ مربوط به سیستم موردنظر است. از مهم‌ترین نکات مطرح‌شده در این جلسه می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

• اگر مقدار شرط اولیه یک مقدار ثابت و غیرصفر باشد، سیستم نمی‌تواند خطی باشد، چون خاصیت همگنی سیستم خطی نقض می‌شود.
• برای حل معادله دیفرانسیل، پاسخ کلی از مجموع پاسخ معادله همگن و پاسخ خاص تشکیل می‌شود.
• مشخص کردن شرط خروجی در یک زمان ثابت، مانند $$y(0)=0$$، می‌تواند بر علیت و تغییرناپذیری سیستم با زمان تاثیر بگذارد.
• در یک سیستم علی، خروجی در هر لحظه نباید به مقادیر آینده ورودی وابسته باشد.
• اگر دو ورودی تا یک زمان مشخص یکسان باشند، خروجی‌های آن‌ها نیز تا همان زمان باید یکسان باشند.

در ادامه این جلسه با یک مثال نشان داده می‌شود که تعیین شرط اولیه در یک نقطه ثابت از زمان می‌تواند باعث غیرعلی شدن سیستم شود. سیستم برای برآورده کردن شرط تعیین‌ شده در آینده، ممکن است مجبور باشد پیش از آن زمان رفتاری متناسب با مقادیر آینده ورودی داشته باشد. همچنین چنین شرطی می‌تواند تغییرناپذیری با زمان را از بین ببرد، زیرا خروجی به یک نقطه زمانی مشخص وابسته شده است.

در پایان، برای رفع این مشکلات مفهوم Initial Rest مطرح می‌شود. در این حالت، تا زمانی که ورودی صفر است، خروجی نیز صفر در نظر گرفته می‌شود. این نوع شرط اولیه به یک زمان ثابت مانند صفر وابسته نیست و زمینه لازم برای توصیف سیستم‌های خطی، علی و تغییرناپذیر با زمان با استفاده از معادلات دیفرانسیل را فراهم می‌کند.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۶

جلسه هفتم: پاسخ پله و مقدمه سری فوریه

فیلم آموزش تبدیل‌ فوریه‌ گسسته و طیف‌ سیگنال در پردازش‌ سیگنال‌ دیجیتال در فرادرس

کلیک کنید

گفتیم در بخش دوم این جلسه، فصل سوم و مبحث سری فوریه آغاز می‌شود. ایده اصلی این بخش بر ویژگی مهمی از سیستم‌های LTI استوار است:

• اگر یک سیگنال سینوسی مختلط با فرکانس مشخص به یک سیستم LTI داده شود، خروجی نیز سینوسی با همان فرکانس خواهد بود.
• سیستم می‌تواند دامنه و فاز سیگنال را تغییر دهد، اما فرکانس آن تغییر نمی‌کند.
• این ویژگی هم برای سیستم‌های زمان‌پیوسته و هم برای سیستم‌های زمان‌گسسته برقرار است.
• این رفتار را می‌توان با مفهوم Eigenfunction یا تابع ویژه توضیح داد.
• سیگنال‌های نمایی مختلط برای سیستم‌های LTI نقش تابع ویژه را دارند.
• مشابه بردار ویژه در جبر خطی، تابع ویژه پس از عبور از سیستم شکل اصلی خود را حفظ می‌کند و تنها در یک ضریب ضرب می‌شود.

اهمیت این ویژگی در ادامه مبحث فوریه مشخص می‌شود. اگر بتوان سیگنال‌های پیچیده‌تر را به ترکیبی از سیگنال‌های سینوسی تبدیل کرد، می‌توان پاسخ سیستم LTI به هر مولفه را جداگانه بررسی کرد و از این طریق به پاسخ سیستم به سیگنال اصلی رسید. این دیدگاه پایه ورود به مبحث سری فوریه در ادامه درس است.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۷

جلسه هشتم: پاسخ پله و توابع سینگولاریتی

در این جلسه، ابتدا مباحث تکمیلی سیستم‌های LTI بررسی می‌شوند که یکی از این مباحث پاسخ پله است. همان‌طور که پاسخ ضربه می‌تواند یک سیستم LTI را مشخص کند، پاسخ پله نیز برای توصیف سیستم کافی است. دقت کنید در حالت گسسته، پاسخ پله از مجموع تجمعی پاسخ ضربه و در حالت پیوسته از انتگرال تجمعی آن به‌دست می‌آید. بنابراین با داشتن پاسخ پله می‌توان پاسخ ضربه و در نتیجه رفتار سیستم را تعیین کرد.

در ادامه، مفهوم تابع ضربه با نگاه دقیق‌تری بررسی شده است. ضربه را می‌توان نوعی اید‌ه‌آل‌سازی پالسی بسیار باریک در نظر گرفت. با کاهش پهنای پالس، پاسخ یک سیستم LTI به آن، به پاسخ ضربه سیستم نزدیک می‌شود. نکته مهم این است که تابع ضربه را می‌توان به‌ جای تعریف بر اساس مقدار آن در هر لحظه، از طریق عملی که انجام می‌دهد نیز تعریف کرد. بر این اساس، ضربه سیگنالی است که کانولوشن هر سیگنال با آن، همان سیگنال را تولید می‌کند.

مبحث بعدی معرفی توابع سینگولاریتی است. این توابع با مشتق‌گیری یا انتگرال‌گیری از ضربه و پله ارتباط دارند:

• مشتق تابع ضربه به‌صورت عملیاتی با سیستمی تعریف می‌شود که از ورودی مشتق می‌گیرد. پس کانولوشن هر سیگنال با مشتق ضربه، مشتق همان سیگنال را تولید می‌کند.
• مشتق‌های مرتبه بالاتر ضربه نیز به همین شکل و بر اساس مشتق مرتبه دوم، سوم و مراتب بالاتر تعریف می‌شوند.
• در جهت عکس، پاسخ ضربه یک سیستم انتگرال‌گیر برابر با تابع پله است.
• با اتصال چند انتگرال‌گیر به‌صورت سری، توابع مرتبه‌های منفی این خانواده به‌دست می‌آیند.
• میان این توابع و عملیات کانولوشن رابطه‌ای وجود دارد که امکان ترکیب مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری در قالب یک چارچوب واحد را فراهم می‌کند.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۸

جلسه نهم: خواص سری فوریه و محاسبه ضرایب آن

در جلسه نهم سیگنال‌ ها و سیستم‌ ها دکتر بابایی زاده، بحث سری فوریه ادامه پیدا می‌کند و تمرکز اصلی روی استفاده از خواص سری فوریه برای محاسبه سریع ضرایب آن است. در ابتدا روابط تحلیل و سنتز و خواصی مانند خطی بودن، انتقال زمانی، معکوس شدن زمان، تغییر مقیاس زمانی، مزدوج مختلط و رابطه پارسوال مرور می‌شوند. همچنین تاثیر مشتق و انتگرال گرفتن از سیگنال بر ضرایب سری فوریه یادآوری می‌شود.

فیلم سری فوریه چیست؟ در فرادرس

کلیک کنید

هدف این است که برای محاسبه ضرایب سری فوریه، تا حد امکان به‌جای محاسبه مستقیم انتگرال، از خواص سری فوریه و زوج‌های شناخته‌ شده استفاده شود. به همین دلیل، چند سیگنال پایه و ضرایب آن‌ها بررسی می‌شوند. مهم‌ترین نکات مطرح‌ شده در این جلسه عبارت‌اند از:

• ضرایب سری فوریه یک موج مربعی متقارن را می‌توان با استفاده از تابع sinc و Duty Cycle آن بیان کرد.
• در قطار ضربه تناوبی، ضرایب سری فوریه برای تمام هارمونیک‌ها برابر هستند. بنابراین تمام هارمونیک‌ها با نسبت یکسان در تشکیل قطار ضربه مشارکت دارند.
• شکل یک سیگنال تناوبی را می‌توان بر اساس نسبت حضور هارمونیک‌های مختلف در آن تفسیر کرد. برای مثال، در موج مربعی این نسبت از الگوی تابع sinc پیروی می‌کند.
• اضافه یا کم کردن یک مقدار ثابت از سیگنال فقط مولفه DC یا ضریب مربوط به هارمونیک صفر را تغییر می‌دهد و سایر ضرایب را تغییر نمی‌دهد.
• انتقال زمانی سیگنال، ضرایب سری فوریه را در یک ضریب فازی ضرب می‌کند و از این ویژگی می‌توان برای محاسبه ضرایب سیگنال‌های جابجا‌ شده استفاده کرد.
• در نمونه بررسی‌شده از موج مربعی، با استفاده از تقارن و خواص سری فوریه مشخص می‌شود که مولفه DC و هارمونیک‌های زوج حذف می‌شوند.

در ادامه، یک موج مثلثی بررسی می‌شود. ایده اصلی این است که به‌جای محاسبه مستقیم انتگرال سری فوریه موج مثلثی، از آن مشتق گرفته شود. مشتق موج مثلثی به یک موج مربعی تبدیل می‌شود که ضرایب سری فوریه آن از قبل مشخص است. سپس با استفاده از رابطه بین ضرایب سری فوریه یک سیگنال و مشتق آن، ضرایب موج مثلثی به‌دست می‌آیند.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۹

جلسه دهم: کانولوشن تناوبی و ارتباط آن با سری فوریه

در جلسه دهم، پس از تکمیل مثال باقیمانده از جلسه قبل در مورد کانولوشن تناوبی، روش محاسبه این نوع کانولوشن برای سیگنال‌های تناوبی با جزئیات بیشتری بررسی می‌شود. هدف مثال، پیدا کردن سیگنالی است که ضرایب سری فوریه آن از حاصل‌ضرب ضرایب سری فوریه دو سیگنال دیگر به‌دست می‌آید. در کانولوشن تناوبی، برخلاف کانولوشن معمولی، محاسبه انتگرال روی یک دوره تناوب انجام می‌شود.

از آنجا که سیگنال‌ها تناوبی هستند، هنگام جابجایی یکی از آن‌ها، باید تکرار سیگنال در دوره‌های قبل و بعد را نیز در نظر گرفت. به همین دلیل، محاسبه کانولوشن تناوبی به‌ویژه زمانی که پالس‌ها پهن هستند، می‌تواند با کانولوشن معمولی تفاوت داشته باشد. در مثال این جلسه، کانولوشن دو پالس تناوبی با دو عرض متفاوت بررسی می‌شود. مهم‌ترین نتایج این مثال عبارت‌اند از:

• اگر عرض پالس‌ها نسبت به دوره تناوب کوچک باشد، در بخشی از جابجایی ممکن است هیچ هم‌پوشانی بین دو پالس وجود نداشته باشد.
• با افزایش عرض پالس، تکرارهای تناوبی سیگنال نیز وارد ناحیه محاسبه می‌شوند و ممکن است همواره مقداری هم‌پوشانی وجود داشته باشد.
• مقدار کانولوشن در هر جابجایی از میزان هم‌پوشانی دو سیگنال به‌دست می‌آید.
• نتیجه کانولوشن تناوبی نیز یک سیگنال تناوبی با همان دوره تناوب است.
• در مثال متقارن جلسه، زوج بودن سیگنال‌ها باعث می‌شود بخشی از خروجی را محاسبه و بخش دیگر را با استفاده از تقارن رسم کنیم.

در ادامه، روشی ساده‌تر برای محاسبه کانولوشن تناوبی معرفی می‌شود. در این روش، ابتدا فقط یک دوره از هر سیگنال تناوبی جدا می‌شود. سپس کانولوشن معمولی این دو بخش محاسبه می‌شود. در نهایت، نسخه‌های جابجا‌ شده نتیجه با فاصله‌ای برابر دوره تناوب کنار یکدیگر جمع می‌شوند تا کانولوشن تناوبی حاصل شود. برای نمونه، کانولوشن معمولی دو پالس مستطیلی یکسان به یک سیگنال مثلثی منجر می‌شود.

با تکرار و جمع نسخه‌های جابجا‌ شده این سیگنال مثلثی، می‌توان نتیجه کانولوشن تناوبی دو قطار پالس را به‌دست آورد. میزان هم‌پوشانی این نسخه‌ها نیز به عرض پالس‌ها در مقایسه با دوره تناوب بستگی دارد. این روش نشان می‌دهد که می‌توان مسئله کانولوشن تناوبی را به کانولوشن معمولی یک دوره از سیگنال‌ها و سپس تناوبی کردن نتیجه تبدیل کرد. این دیدگاه محاسبه کانولوشن تناوبی را ساده‌تر می‌کند و ارتباط آن با خواص سری فوریه را نیز روشن‌تر نشان می‌دهد.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۱۰

جلسه یازدهم: سری فوریه زمان‌گسسته و خواص آن

در جلسه یازدهم، مبحث سری فوریه سیگنال‌های زمان‌گسسته ادامه پیدا می‌کند. اگر سیگنال گسسته با دوره $$N$$ تناوبی باشد، می‌توان آن را با $$N$$ هارمونیک متمایز نمایش داد. برخلاف حالت زمان‌پیوسته، روابط تحلیل و سنتز شامل مجموع‌های متناهی هستند و مسائلی مانند همگرایی و پدیده گیبس مطرح نمی‌شوند.

• ترکیب خطی سیگنال‌ها به همان ترکیب خطی ضرایب آن‌ها منجر می‌شود.
• جابجایی سیگنال فاز ضرایب را تغییر می‌دهد و معکوس شدن زمان نیز ترتیب ضرایب را معکوس می‌کند.
• برای سیگنال‌های حقیقی، بین ضرایب مثبت و منفی رابطه مزدوج مختلط برقرار است.
• ضرب دو سیگنال در حوزه زمان به کانولوشن تناوبی ضرایب سری فوریه منجر می‌شود.
• به‌ جای مشتق در زمان گسسته، می‌توان از تفاضل نمونه‌های متوالی استفاده کرد.
• رابطه پارسوال نیز برقرار است و توان متوسط سیگنال را به مجموع توان هارمونیک‌ها مرتبط می‌کند.

فیلم آموزش تبدیل فوریه سیگنال‌ های پیوسته در زمان در فرادرس

کلیک کنید

سپس قطار ضربه زمان‌گسسته بررسی می‌شود. ضرایب سری فوریه این سیگنال برای تمام هارمونیک‌ها برابر هستند و در نتیجه، همه هارمونیک‌ها با وزن یکسان در ساخت آن مشارکت دارند. در بخش بعد، نگاه برداری به سری فوریه مطرح می‌شود. سیگنال تناوبی گسسته با دوره $$N$$ تنها با $$N$$ نمونه مشخص می‌شود و ضرایب فوریه آن نیز شامل $$N$$ عدد هستند.

بنابراین نمونه‌های سیگنال و ضرایب فوریه را می‌توان دو بردار $$N$$ بعدی دانست که با یک تبدیل خطی به یکدیگر مرتبط‌اند. ماتریس این تبدیل معکوس‌پذیر است و ارتباط آن با ترانهاده مزدوج نیز بررسی می‌شود. در پایان، مجددا به این نکته اشاره می‌شود که نمایی‌های مختلط، Eigenfunction سیستم‌های LTI هستند. بنابراین سیستم LTI فرکانس ورودی سینوسی را حفظ می‌کند و فقط دامنه و فاز آن را تغییر می‌دهد.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۱۱

جلسه دوازدهم: جمع‌بندی سری فوریه و شروع تبدیل فوریه

در این جلسه، ابتدا چند مثال از سری فوریه برای مرور مطالب قبل حل می‌شود. در این مثال‌ها، هدف بازسازی سیگنال در حوزه زمان از روی ضرایب سری فوریه است. برای این کار، ضرایب به الگوهای آشنایی مانند تابع sinc و عبارت‌های نمایی مرتبط با انتقال زمانی تجزیه می‌شوند. به این ترتیب می‌توان بدون محاسبه مستقیم انتگرال، شکل سیگنال را تشخیص داد.

یکی از نکات مهم این جلسه، ارتباط بین دوره انتخاب‌ شده و ضرایب سری فوریه است. یک سیگنال با دوره $$T$$، با دوره $$2T$$ نیز تناوبی است. اگر همان سیگنال را با دوره دو برابر تحلیل کنیم، فرکانس اصلی نصف می‌شود، اما مولفه‌های فرکانسی واقعی آن تغییر نمی‌کنند. مهم‌ترین نتایج این بخش عبارت‌اند از:

• با دو برابر شدن دوره تحلیل، فرکانس اصلی نصف می‌شود.
• مولفه‌های فرکانسی سیگنال ثابت می‌مانند و فقط شماره هارمونیک آن‌ها تغییر می‌کند.
• ضرایب قبلی در هارمونیک‌های زوج قرار می‌گیرند و ضرایب هارمونیک‌های فرد صفر می‌شوند.
• وجود الگوی منظم ضرایب صفر می‌تواند نشان دهد دوره اصلی سیگنال از دوره انتخاب‌ شده برای تحلیل کوچکتر است.

در مثال بعدی، ضرایب سری فوریه به دو مجموعه ساده‌تر تجزیه می‌شوند. مجموعه‌ای که برای همه هارمونیک‌ها ضرایب برابر دارد، به قطار ضربه مربوط است. این مثال‌ها نشان می‌دهند که برای حل مسائل سری فوریه می‌توان به‌ جای شروع از انتگرال، ضرایب را به الگوهای شناخته‌شده مانند موج مربعی، sinc و قطار ضربه مرتبط کرد.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۱۲

جلسه سیزدهم: تبدیل فوریه و شرایط همگرایی آن

• محدود بودن انرژی سیگنال، شرط کافی برای بازسازی سیگنال از دید انرژی است.
• با برقرار بودن شرایط دیریکله، در نقاط پیوستگی مقدار بازسازی‌ شده به خود سیگنال همگرا می‌شود.
• در نقاط ناپیوستگی، مقدار حاصل به میانگین مقادیر دو طرف ناپیوستگی می‌رسد.
• انتگرال‌پذیری قدر مطلق سیگنال و متناهی بودن تعداد ناپیوستگی‌ها و بیشینه‌ها و کمینه‌ها در بازه‌های متناهی از شرایط مطرح‌ شده هستند.

در پایان جلسه، تبدیل فوریه یک سیگنال نمایی یک‌طرفه کاهشی مستقیما از تعریف انتگرالی محاسبه می‌شود. مثبت بودن ضریب کاهش باعث می‌شود عبارت نمایی در بی‌نهایت به صفر میل کند و انتگرال همگرا شود. این مثال مقدمه‌ای است برای بررسی زوج‌های متداول تبدیل فوریه.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۱۳

جلسه چهاردهم: خواص تبدیل فوریه و محاسبه با مشتق و انتگرال

در جلسه چهاردهم، بررسی خواص تبدیل فوریه ادامه پیدا می‌کند. پس از مرور ویژگی‌هایی مانند خطی بودن، انتقال زمانی، معکوس شدن زمان و مزدوج مختلط، تاثیر مشتق و انتگرال گرفتن از سیگنال بر تبدیل فوریه آن توضیح داده می‌شود. در واقع هدف اصلی این است که بتوان تبدیل فوریه سیگنال‌های مختلف را با استفاده از خواص شناخته‌ شده و بدون محاسبه مستقیم انتگرال به‌دست آورد.

یکی از مهم‌ترین مباحث این جلسه، تفاوت خاصیت مشتق و انتگرال در تبدیل فوریه است. مشتق گرفتن از سیگنال در حوزه زمان، معادل ضرب تبدیل فوریه آن در $$j\omega$$ است. در مقابل، انتگرال‌گیری تجمعی علاوه بر تقسیم بر $$j\omega$$، ممکن است یک مولفه ضربه در فرکانس صفر نیز ایجاد کند. این مولفه به سطح زیر سیگنال اولیه ارتباط دارد. مهم‌ترین نکات این بخش عبارت‌اند از:

• مقدار تبدیل فوریه در فرکانس صفر، برابر انتگرال سیگنال در کل محور زمان است و لزوما به معنای مولفه DC واقعی سیگنال نیست.
• انتگرال‌گیری تجمعی می‌تواند یک مولفه ثابت در سیگنال خروجی ایجاد کند که در حوزه فرکانس به‌شکل ضربه ظاهر می‌شود.
• تبدیل فوریه تابع ضربه واحد برابر یک است. بنابراین تمام فرکانس‌ها با وزن یکسان در تشکیل ضربه مشارکت دارند.
• تبدیل فوریه پالس مستطیلی با تابع sinc ارتباط دارد.

در ادامه این جلسه، مثالی بررسی می‌شود که در آن مشتق گرفتن از سیگنال اصلی، ترکیبی از یک پالس مستطیلی و دو ضربه جابجا‌ شده ایجاد می‌کند. تبدیل فوریه این اجزا با استفاده از روابط شناخته‌ شده محاسبه می‌شود. سپس با کمک خاصیت انتگرال‌گیری، تبدیل فوریه سیگنال اولیه به‌دست می‌آید. در پایان، به خاصیت تغییر مقیاس زمانی اشاره می‌شود. بر اساس این ویژگی، فشرده شدن سیگنال در حوزه زمان باعث گسترده‌تر شدن نمایش آن در حوزه فرکانس می‌شود و برعکس. این رابطه یکی از ویژگی‌های مهم تبدیل فوریه در تحلیل رفتار فرکانسی سیگنال‌ها است.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۱۴

جلسه پانزدهم: حل مثال‌ از تبدیل فوریه با استفاده از خواص آن

در جلسه پانزدهم، تمرکز اصلی بر حل مسائل تبدیل فوریه با استفاده از خواص آن است. ابتدا ویژگی‌هایی مانند خطی بودن، انتقال زمانی و فرکانسی، مشتق، انتگرال و کانولوشن مرور می‌شوند. سپس چند مثال حل می‌شود تا نشان داده شود چگونه می‌توان بدون محاسبه مستقیم انتگرال، تبدیل فوریه سیگنال‌ها را به‌دست آورد.

در اولین مثال، تبدیل فوریه یک سیگنال مثلثی با دو روش محاسبه می‌شود. در روش اول، از سیگنال مشتق گرفته می‌شود تا به ترکیبی از دو پالس مستطیلی تبدیل شود. سپس با استفاده از خاصیت انتقال زمانی و انتگرال‌گیری، تبدیل فوریه سیگنال اصلی به‌دست می‌آید. در روش دوم، سیگنال مثلثی به‌صورت کانولوشن دو پالس مستطیلی یکسان در نظر گرفته می‌شود. از آنجا که کانولوشن در حوزه زمان معادل ضرب در حوزه فرکانس است، تبدیل فوریه سیگنال مثلثی به‌شکل مربع تابع sinc به‌دست می‌آید. مهم‌ترین نکات این بخش عبارت‌اند از:

• استفاده از خواص تبدیل فوریه معمولا محاسبات را ساده‌تر از انتگرال‌گیری مستقیم می‌کند.
• مشتق گرفتن از سیگنال‌های تکه‌ای می‌تواند آن‌ها را به پالس‌ها و ضربه‌های ساده‌تر تبدیل کند.
• کانولوشن دو پالس مستطیلی یکسان، یک سیگنال مثلثی ایجاد می‌کند.
• انتقال در حوزه زمان باعث تغییر فاز تبدیل فوریه می‌شود.
• انتقال در حوزه فرکانس با ضرب سیگنال زمانی در یک نمایی مختلط ارتباط دارد.
• خاصیت دوگانگی امکان استفاده از زوج‌های تبدیل فوریه را در جهت معکوس فراهم می‌کند.

در مثال دوم، دامنه و فاز تبدیل فوریه یک سیگنال به‌صورت نموداری داده می‌شود و هدف، بازسازی سیگنال در حوزه زمان است. ابتدا اثر فاز خطی به‌عنوان یک انتقال زمانی شناسایی می‌شود. سپس برای محاسبه تبدیل معکوس بخش دامنه، از مشتق‌گیری در حوزه فرکانس استفاده می‌شود تا نمودار به ترکیبی از پالس‌های مستطیلی و ضربه‌ها تبدیل شود.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۱۵

جلسه شانزدهم: پاسخ فرکانسی سیستم‌های LTI و کانولوشن

در جلسه شانزدهم سیگنال‌ ها و سیستم‌ ها دکتر بابایی زاده، ارتباط تبدیل فوریه با سیستم‌های LTI بررسی می‌شود. ابتدا خاصیت کانولوشن توضیح داده می‌شود که بر اساس آن، کانولوشن دو سیگنال در حوزه زمان معادل ضرب تبدیل فوریه آن‌ها در حوزه فرکانس است. بنابراین در صورت وجود تبدیل‌های لازم، می‌توان رفتار سیستم LTI را علاوه بر پاسخ ضربه، با پاسخ فرکانسی نیز توصیف کرد. در ادامه، پاسخ فرکانسی چند سیستم ساده محاسبه می‌شود. مهم‌ترین نتایج این بخش عبارت‌اند از:

• سیستم تاخیر: پاسخ فرکانسی آن دامنه‌ ثابت و فاز خطی دارد. بنابراین دامنه مولفه‌های فرکانسی تغییر نمی‌کند، اما فاز آن‌ها تغییر می‌کند.
• سیستم مشتق‌گیر: پاسخ فرکانسی آن برابر $$j\omega$$ است و از خاصیت مشتق در تبدیل فوریه به‌دست می‌آید.
• سیستم انتگرال‌گیر: پاسخ فرکانسی آن علاوه بر عبارت وابسته به $$1/j\omega$$، شامل یک مولفه ضربه در فرکانس صفر است.
• سیستم‌های LTI پایدار: پاسخ ضربه آن‌ها مطلقا انتگرال‌پذیر است و در نتیجه، پاسخ فرکانسی آن‌ها وجود دارد.

فیلم آموزش مبانی مهندسی برق ۱ در فرادرس

کلیک کنید

یکی از مباحث مهم این جلسه، بررسی فیلتر پایین‌گذر ایده‌آل است. این فیلتر فرکانس‌های پایین‌تر از فرکانس قطع را عبور می‌دهد و فرکانس‌های بالاتر را حذف می‌کند. با محاسبه تبدیل فوریه معکوس پاسخ فرکانسی آن، مشخص می‌شود که پاسخ ضربه فیلتر از نوع تابع sinc است. این فیلتر از نظر عملی قابل ساخت نیست، زیرا علی نیست و پاسخ ضربه آن در تمام محور زمان امتداد دارد.

همچنین پاسخ ضربه آن مطلقا انتگرال‌پذیر نیست و بنابراین فیلتر پایین‌گذر ایده‌آل از نظر BIBO پایدار نیست. در مقابل فیلترهای واقعی مانند مدارهای مقاومتی و خازنی می‌توانند رفتار پایین‌گذر را به‌صورت تقریبی ایجاد کنند. در بخش پایانی، کاربرد خاصیت کانولوشن برای ساده‌سازی محاسبات بررسی می‌شود.

در یک مثال، کانولوشن دو سیگنال نمایی یک‌طرفه مطرح می‌شود. به‌جای محاسبه مستقیم انتگرال کانولوشن، ابتدا تبدیل فوریه سیگنال‌ها محاسبه و در یکدیگر ضرب می‌شوند. سپس با استفاده از تبدیل فوریه معکوس، نتیجه در حوزه زمان به‌دست می‌آید. این جلسه نشان می‌دهد که تحلیل در حوزه فرکانس، علاوه بر توصیف رفتار سیستم‌های LTI، می‌تواند روش مناسبی برای محاسبه کانولوشن و بررسی ویژگی‌های فیلترها باشد.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۱۶

جلسه هفدهم: انتگرال در تبدیل فوریه و سیستم‌های دیفرانسیلی

در جلسه هفدهم، ابتدا خاصیت انتگرال‌گیری در تبدیل فوریه بررسی می‌شود. این ویژگی در جلسات قبل معرفی شده بود و در این جلسه، اثبات ریاضی آن نشان داده می‌شود. بر اساس این خاصیت، انتگرال‌گیری از سیگنال در حوزه زمان، علاوه بر تقسیم تبدیل فوریه بر $$j\omega$$، می‌تواند مولفه‌ای ضربه‌ای در فرکانس صفر ایجاد کند. موضوعات اصلی این جلسه عبارت‌اند از:

• اثبات خاصیت انتگرال: بررسی دلیل وجود مولفه ضربه در فرکانس صفر در تبدیل فوریه سیگنال انتگرال‌گیری‌ شده.
• سیستم‌های توصیف‌ شده با معادلات دیفرانسیل: ورود به بررسی این سیستم‌ها با استفاده از مفاهیم تبدیل فوریه.
• ویژگی‌های سیستم‌های LTI: مرور نکاتی در مورد تحلیل سیستم‌های خطی و تغییرناپذیر با زمان.
• تبدیل فوریه زمان‌گسسته: آغاز مبحث تبدیل فوریه سیگنال‌های گسسته که در جلسات بعد نیز ادامه پیدا می‌کند.

این جلسه از نظر ترتیب مباحث، ارتباطی بین خواص تبدیل فوریه زمان‌پیوسته، تحلیل سیستم‌ها و شروع تبدیل فوریه زمان‌گسسته برقرار می‌کند.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۱۷

جلسه هجدهم: تبدیل فوریه سیگنال‌های زمان‌گسسته

در جلسه هجدهم، ابتدا با استفاده از سری فوریه سیگنال‌های تناوبی گسسته، روابط تحلیل و سنتز تبدیل فوریه به‌دست می‌آیند. در این روش، با افزایش دوره تناوب تا بی‌نهایت، می‌توان یک سیگنال غیرتناوبی را به‌صورت ترکیبی از مولفه‌های سینوسی با فرکانس‌های مختلف نمایش داد. در ادامه، تفاوت‌های تبدیل فوریه زمان‌گسسته و زمان‌پیوسته بررسی می‌شوند. مهم‌ترین نکات این بخش عبارت‌اند از:

• تناوب در حوزه فرکانس: تبدیل فوریه سیگنال گسسته نسبت به فرکانس زاویه‌ای با دوره $$2\pi$$ تناوبی است.
• محدوده فرکانس‌های متمایز: تمام اطلاعات فرکانسی سیگنال در یک بازه به طول $$2\pi$$ قرار می‌گیرد.
• روابط تحلیل و سنتز: رابطه تحلیل شامل مجموع نمونه‌های سیگنال است، اما رابطه سنتز به‌صورت انتگرال روی یک دوره فرکانسی نوشته می‌شود.
• ارتباط با سری فوریه: ضرایب سری فوریه سیگنال تناوبی را می‌توان از نمونه‌های تبدیل فوریه یک دوره از آن به‌دست آورد.
• مفهوم فرکانس: فرکانس‌های نزدیک صفر و مضارب زوج $$\pi$$ فرکانس‌های پایین محسوب می‌شوند، در حالی که فرکانس‌های نزدیک مضارب فرد $$\pi$$ بیشترین نوسان را نشان می‌دهند.

یکی از تفاوت‌های اساسی با حالت زمان‌پیوسته این است که تبدیل فوریه سیگنال گسسته، تابعی پیوسته و تناوبی از فرکانس است. همچنین، برخلاف تبدیل فوریه زمان‌پیوسته، خاصیت دوگانگی به همان شکل برای تبدیل فوریه زمان‌گسسته برقرار نیست.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۱۸

آشنایی با نرم‌افزارهای مهندسی برق با فرادرس

تسلط بر نرم‌افزارهای تخصصی رشته مهندسی برق، در موفقیت تحصیلی و ورود به بازار کار این رشته بسیار مهم است. در این فیلم‌های آموزشی فرادرس، نرم‌افزارهای حوزه‌ قدرت، الکترونیک، کنترل و مخابرات و تاسیسات به‌صورت پروژه‌محور آموزش داده می‌شوند تا علاوه بر پیاده‌سازی پروژه‌های دانشگاهی، مهارت‌های لازم برای ورود به صنعت و بازار کار تخصصی را کسب کنید:

• فیلم آموزش طراحی آنتن مایکرواستریپ با HFSS
• فیلم آموزش HFSS برای شبیه سازی میدان ها و امواج

همچنین برای اینکه با دروس دانشگاهی رشته مهندسی برق بیشتر آشنا شوید، می‌توانید مطلب زیر از مجله فرادرس را مطالعه کنید:

جلسه نوزدهم: کاربرد خواص تبدیل فوریه زمان‌گسسته

در این جلسه کاربرد تبدیل فوریه زمان‌گسسته در تحلیل سیستم‌ها و محاسبه کانولوشن بررسی می‌شود. ابتدا پاسخ فرکانسی یک سیستم تاخیر با دو روش، یعنی خاصیت انتقال زمانی و تبدیل فوریه پاسخ ضربه محاسبه می‌شود. سپس کانولوشن دو سیگنال نمایی یک‌ طرفه با استفاده از تبدیل فوریه حل می‌شود. برای محاسبه تبدیل معکوس از تجزیه به کسرهای جزئی و خاصیت مشتق در حوزه فرکانس استفاده می‌شود. این مسئله برای دو حالت برابر و نابرابر بودن ضرایب نمایی بررسی می‌شود. مهم‌ترین نکات این جلسه عبارت‌اند از:

• محاسبه پاسخ فرکانسی سیستم تاخیر با استفاده از خواص تبدیل فوریه
• تبدیل کانولوشن زمانی به ضرب در حوزه فرکانس
• استفاده از کسرهای جزئی برای محاسبه تبدیل فوریه معکوس
• بررسی ارتباط ضرب سیگنال‌های گسسته با کانولوشن تناوبی در حوزه فرکانس
• محاسبه کانولوشن تناوبی پالس‌های مستطیلی با پهنای متفاوت

در مثال پایانی این جلسه، حاصل‌ضرب دو سیگنال از نوع sinc بررسی می‌شود. تبدیل فوریه این سیگنال‌ها به‌شکل پالس‌های مستطیلی تناوبی است. با محاسبه کانولوشن معمولی یک دوره از این پالس‌ها، شکلی ذوزنقه‌ای به‌دست می‌آید که با تکرار تناوبی و اعمال ضریب مناسب، نتیجه نهایی مشخص می‌شود.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۱۹

جلسه بیستم: تبدیل لاپلاس و ناحیه همگرایی

در جلسه بیستم سیگنال‌ ها و سیستم‌ ها دکتر بابایی زاده، تبدیل لاپلاس و ناحیه همگرایی (ROC) بررسی می‌شود. همچنین توضیح داده می‌شود که برای مشخص کردن یکتای یک سیگنال، علاوه بر عبارت تبدیل لاپلاس باید ناحیه همگرایی آن نیز معلوم باشد.

مهم‌ترین مباحث این جلسه عبارت‌اند از:

• محاسبه تبدیل لاپلاس سیگنال‌های نمایی، کسینوسی و ضربه واحد
• بررسی ارتباط تبدیل لاپلاس و تبدیل فوریه با قرار دادن $$s=j\omega$$
• توضیح تفاوت شرایط وجود تبدیل فوریه و تبدیل لاپلاس
• بررسی ویژگی‌های ناحیه همگرایی و امتداد آن در راستای محور موهومی
• حل مثال‌هایی برای تعیین تبدیل لاپلاس و ناحیه همگرایی سیگنال‌ها

در انتها تاکید می‌شود که وجود تبدیل فوریه لزوما به معنای قرار داشتن محور موهومی در ناحیه همگرایی تبدیل لاپلاس نیست.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۲۰

جلسه بیست‌ و یکم: تبدیل لاپلاس و کاربرد در سیستم‌های LTI

در جلسه پیش‌رو، مباحث مربوط به خواص تبدیل لاپلاس تکمیل شده و کاربرد این تبدیل در تحلیل سیستم‌های خطی و تغییرناپذیر با زمان (LTI) بررسی می‌شود. موضوعات اصلی این جلسه عبارت‌اند از:

• تکمیل بررسی خواص تبدیل لاپلاس
• کاربرد تبدیل لاپلاس در تحلیل سیستم‌های LTI
• بررسی سیستم‌های توصیف‌شده با معادلات دیفرانسیل با استفاده از تبدیل لاپلاس

این جلسه بر استفاده از تبدیل لاپلاس برای تحلیل سیستم‌ها تمرکز دارد و زمینه را برای بررسی ارتباط معادلات دیفرانسیل با رفتار سیستم‌های LTI فراهم می‌کند.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۲۱

جلسه بیست‌ و دوم: معرفی تبدیل Z و ناحیه همگرایی آن

در این جلسه، ابتدا چند مسئله در مورد علیت و پایداری سیستم‌های LTI مطرح می‌شود. سپس تبدیل Z به‌عنوان تعمیم تبدیل فوریه برای سیگنال‌های زمان‌گسسته معرفی می‌شود. مهم‌ترین مباحث این جلسه عبارت‌اند از:

• بررسی رابطه بین پاسخ ضربه، علیت و پایداری سیستم‌های LTI
• معرفی تبدیل Z با استفاده از خاصیت تابع ویژه بودن سیگنال‌های نمایی
• محاسبه تبدیل Z سیگنال‌های نمایی راست‌ و چپ‌
• تعریف ناحیه همگرایی (ROC) و نمایش آن در صفحه مختلط Z
• بررسی ارتباط تبدیل Z و تبدیل فوریه زمان‌گسسته روی دایره واحد

در مثال‌های این جلسه نشان داده می‌شود که عبارت جبری تبدیل Z به‌ تنهایی برای تعیین سیگنال کافی نیست و باید ناحیه همگرایی آن نیز مشخص باشد. در پایان، شرایط به‌ دست‌ آوردن تبدیل فوریه از تبدیل Z بررسی می‌شود و اهمیت قرار داشتن دایره واحد در ناحیه همگرایی نیز توضیح داده می‌شود.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۲۲

جلسه بیست‌ و سوم: تبدیل معکوس Z و خواص تبدیل Z

در جلسه بیست‌ و سوم سیگنال‌ ها و سیستم‌ ها دکتر بابایی زاده، روش‌های محاسبه تبدیل معکوس Z و مهم‌ترین خواص این تبدیل بررسی می‌شوند. همچنین ناحیه همگرایی (ROC) مرور می‌شود و توضیح داده می‌شود که برای تعیین یکتای سیگنال، علاوه بر عبارت تبدیل Z باید ناحیه همگرایی آن نیز مشخص باشد. مهم‌ترین مباحث این جلسه عبارت‌اند از:

• بررسی شکل ناحیه همگرایی و ارتباط آن با قطب‌های تبدیل Z
• محاسبه تبدیل معکوس Z با استفاده از تجزیه به کسرهای جزئی
• معرفی روش بسط سری توانی برای استخراج نمونه‌های سیگنال
• حل مثال‌هایی با ناحیه‌های همگرایی متفاوت و بررسی سیگنال‌های راست‌ و چپ‌
• بررسی خواص انتقال زمانی و ضرب سیگنال در یک عبارت نمایی

در مثال‌های این جلسه نشان داده می‌شود که یک عبارت تبدیل Z می‌تواند با ناحیه‌های همگرایی متفاوت، به سیگنال‌های مختلفی مربوط باشد.  روش بسط سری توانی نیز به عنوان راهی برای محاسبه مستقیم نمونه‌های سیگنال معرفی می‌شود. در پایان، خواص تبدیل Z و تاثیر انتقال زمانی و ضرب نمایی بر ناحیه همگرایی بررسی می‌شوند.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۲۳

جلسه بیست‌ و چهارم: نمونه‌برداری از سیگنال‌های پیوسته

در آخرین جلسه و آخرین بخش این مطلب از مجله فرادرس، مفهوم نمونه‌برداری از سیگنال‌های پیوسته و شرایط بازسازی سیگنال اصلی از نمونه‌های گسسته بررسی می‌شود. همچنین کاربرد نمونه‌برداری در ذخیره و پردازش دیجیتال سیگنال‌هایی مانند صدا توضیح داده می‌شود. مهم‌ترین مباحث این جلسه عبارت‌اند از:

• تعریف فرکانس نمونه‌برداری و ارتباط آن با فاصله زمانی نمونه‌ها
• بررسی ارتباط تبدیل فوریه سیگنال اصلی و سیگنال نمونه‌برداری‌ شده
• معرفی قضیه نمونه‌برداری نایکویست و شرط فرکانس نمونه‌برداری حداقل دو برابر پهنای باند سیگنال
• بررسی پدیده همپوشانی فرکانسی (Aliasing) در نمونه‌برداری با فرکانس ناکافی
• بازسازی سیگنال پیوسته با استفاده از فیلتر پایین‌گذر

در این جلسه نشان داده می‌شود که اگر سیگنال دارای پهنای باند محدود باشد و فرکانس نمونه‌برداری به‌اندازه کافی بالا انتخاب شود، بازسازی دقیق سیگنال اصلی از نمونه‌ها امکان‌پذیر است. در غیر این صورت، همپوشانی طیفی باعث از دست رفتن اطلاعات می‌شود.

فیلم سیگنال ها و سیستم ها دکتر بابایی زاده - جلسه ۲۴