ماتریس همانی و ماتریس یکانی | به زبان ساده

در پدیده‌های طبیعی، اغلب با بیش از یک ویژگی مواجه هستیم. برای بیان ویژگی‌های این پدیده‌ها، از ساختاری به نام «ماتریس» (Matrix) استفاده می‌کنیم. در این بین ماتریس‌های مختلف با خواص متفاوت به کار می‌روند. در این نوشتار از مجله فرادرس با دو گونه ماتریس خاص آشنا خواهیم شد که به ماتریس همانی و ماتریس یکانی معروف هستند.

ماتریس همانی یا ماتریس یکه (Identity Matrix) نقش مقدار ۱ را در عمل ضرب حسابی ایفا می‌کند و به عنوان یک عنصر بی‌اثر در عملگر ضرب ماتریسی به کار می‌رود. همچنین ماتریس یکانی (Unitary Matrix) نیز شبیه «عدد موهوی» (Imaginary Unit) با مقدار $$i^2 = -1$$ در محاسبات «اعداد مختلط» (Complex Numbers) است. به این ترتیب مشخص است که هر دو ماتریس ماتریس همانی و ماتریس یکانی نقش مهمی در جبر ماتریس‌ها به عهده دارند.

ماتریس همانی و ماتریس یکانی

جبر ماتریسی یا «جبر خطی» (Linear Algebra)، توسعه‌ای بر جبر و حساب اعداد محسوب می‌شود. به این ترتیب همان عملیاتی که برای اعداد (نظیر چهار عمل اصلی) وجود دارد، برای ماتریس‌ها نیز تعریف و به کار گرفته می‌شود.

ماتریس همانی و ماتریس یکانی نقش مهمی در تفسیر مفاهیم نظریه مجموعه‌ها در جبر خطی ایفا می‌کنند. به همین دلیل در این متن به معرفی این دو ماتریس خواهیم پرداخت. البته به خصوصیاتی که در جبر خطی چه در فضای اعداد حقیقی یا اعداد مختلط برای ماتریس همانی و ماتریس یکانی وجود دارد نیز اشاره‌هایی خواهیم داشت.

ماتریس همانی

در جبر خطی، «ماتریس همانی» (Identity Matrix) یا «ماتریس یکه» (Unit Matrix)، یک «ماتریس مربعی» (Square Matrix) است که درایه‌های روی قطر اصلی آن برابر با ۱ بوده و عناصر خارج از قطر، همگی صفر هستند.

فیلم آموزش ماتریس‌ها و جبر خطی در فرادرس

کلیک کنید

ماتریس همانی را اغلب با نماد $$I_{n}$$ نشان می‌دهند که اندیس $$n$$، بیانگر بعد ماتریس همانی است. البته گاهی این ماتریس به شکل عدد یک ضخیم (1) مشخص می‌شود. همچنین نمادهای $$U$$ و $$E$$ نیز برای این ماتریس به ندرت به کار می‌روند.

به عنوان مثال، ماتریس‌های زیر همگی از نوع همانی هستند.

$$\large {\displaystyle I_{1} = {\begin{bmatrix}1 \end{bmatrix}},\ I_{2} ={\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}},\ I_{3}= {\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n} = {\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}}}$$

اگر از نماد ماتریس قطری (Diagonal Matrices) استفاده کنیم، ماتریس همانی به شکل زیر نوشته خواهد شد.

$$\large {\displaystyle I_{n} = \operatorname {diag} (1 , 1 , \dots ,1 ) }$$

$$\large {\displaystyle (I_{n})_{ij} = \delta_{ij}}$$

خواص ماتریس همانی

فرض کنید که $$A$$ یک ماتریس با ابعاد $$m \times n$$ باشد. در این صورت اگر $$I_n$$‌، ماتریس همانی با $$n$$ سطر و $$I_m$$ نیز ماتریسی با $$m$$ ستون باشد، رابطه زیر براساس ضرب ماتریسی برقرار است.

$$\large {\displaystyle I_{m} A = AI_{n}= A }$$

رابطه ۱: تعریف ماتریس همانی

به این ترتیب می‌توان ماتریس همانی را به عنوان عنصر همانی در حلقه (Ring) حاصل از فضای ماتریسی و عملگر ضرب ماتریسی در نظر گرفت. با توجه به رابطه ۱ می‌توان نتیجه گرفت که ماتریس همانی، معکوس خودش است. با فرض $$A_{n \times n } = I_n$$، نتیجه می‌گیریم:

$$\large {\displaystyle I_{n} I_{n} = I_{n} }$$

رابطه ۲: خودتوانی ماتریس همانی

که نشانگر معکوس‌پذیری ماتریس همانی است. به این ترتیب رابطه ۲ نشان می‌دهد که ماتریس همانی با توجه به عمل ضرب، یک «ماتریس خودتوان» (Idempotent Matrix) هم خواهد بود.

نکته: هر ماتریس همانی با حداقل دو سطر یا ستون، دارای بی‌شمار ریشه دوم قرینه است. برای مثال، ریشه‌های دوم ماتریس همانی $$I_2$$ به صورت‌های زیر می‌توانند نوشته شوند.

$$\large {\displaystyle {\dfrac {1}{t}} {\bigl (} {\begin{matrix} \mp s & \mp r \\ \large \mp r & \pm s \end{matrix}} { \bigr) }}$$

$$\large {\displaystyle {\dfrac {1}{t}} {\bigl (} {\begin{matrix} \pm s & \mp r \\ \large \mp r & \mp s \end{matrix}} { \bigr) }}$$

$$\large {\displaystyle {\dfrac {1}{t}} {\bigl (} {\begin{matrix} \mp r & \mp s \\ \large \mp s & \pm r \end{matrix}} { \bigr) }}$$

$$\large {\displaystyle {\dfrac {1}{t}} { \bigl ( } {\begin{matrix}\pm r&\mp s\\ \large \mp s & \mp r \end{matrix}}{ \bigr) }}$$

$$\large t^2 = s^2 + r^2$$

همچنین دو ماتریس زیر نیز به عنوان ریشه‌های دوم ماتریس همانی محسوب می‌شوند.

$$\large {\displaystyle {\bigl(} { \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{matrix}}{\bigr)} }$$

$$\large {\displaystyle {\bigl(}{ \begin{matrix} \pm 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}}{\bigr )}}$$

ماتریس یکانی

$$\large {\displaystyle U^{*} U = U U^{*} = I }$$

رابطه ۳: تعریف ماتریس یکانی $$U$$

در رابطه بالا، منظور از $$I$$، همان «ماتریس همانی» (Identity Matrix) است.

در فیزیک، بخصوص در مکانیک کوانتمی، ماتریس «هرمیتی همسازه» (Hermitian Adjoint) با نشانه $$\dagger$$ مشخص می‌شود. در نتیجه گاهی ممکن است ماتریس یکانی را به صورت زیر معرفی کنند.

$$\large {\displaystyle U^{\dagger } U = U U^{ \dagger } = I }$$

$$\large Q^T = Q^{-1}$$

یا به عبارت دیگر

$$\large Q^T Q = Q Q^T = I$$

خواص ماتریس یکانی

برای هر ماتریس یکانی با ابعاد متناهی، می‌توان خصوصیات زیر را تحقیق کرد.

• دو بردار مختلط مثل $$x$$ و $$y$$ که در ماتریس $$U$$ ضرب داخلی شوند، روی ماتریس $$U$$، بی‌اثر هستند. یعنی داریم:

$$\large \langle U x, U y \rangle = \langle x , y \rangle$$

• ماتریس $$U$$ نرمال است. یعنی $$U ^*U = U U^*$$. واضح است که $$U^*$$ همان ترانهاده مزدوج ماتریس $$U$$ است.
• ماتریس $$U$$، قابل قطری شدن است.
• دترمینان ماتریس $$U$$ به مانند ماتریس همانی برابر است با ۱

$$\large |\det (U) | = 1$$

• «فضای ویژه» (Eigenspaces) تولید شده توسط ماتریس یکانی، متعامد (Orthogonal) است.
• ماتریس $$U$$ را می‌توان به صورت زیر نمایش داد. در اینجا $$e$$، ماتریس نمایی و $$i$$ نیز عدد واحد موهومی است. همچنین $$H$$ نیز یک «ماتریس هرمیتی» (Hermitian Matrix) است.

گزاره‌های هم‌ارز در مورد ماتریس یکانی

• ماتریس $$U$$، ماتریس یکانی است.
• ماتریس $$U^*$$، ماتریس یکانی است.
• ماتریس $$U$$ معکوس پذیر بوده و داریم $$U^{-1} = U^*$$.
• ستون‌های ماتریس $$U$$ پایه‌های متعامد از $$C^n$$ برای ضرب داخلی ماتریس‌ها تشکیل می‌دهند. یعنی:

$$\large U^* U = I$$

• سطرهای ماتریس $$U$$ پایه‌های متعامد از $$C^n$$ برای ضرب داخلی ماتریس‌ها تشکیل می‌دهند. یعنی:

$$\large U U^* = I$$

• ماتریس $$U$$ متقارن نسبت به «نًرم عادی» (نُرم اقلیدسی) است. به این ترتیب داریم:

$$\large || Ux ||_2 = ||x||_2 , \forall x \in C^n ,\;\;\; ||x||_2 = \sqrt{\sum_{i = 1}^n |x_i|^2}$$

• ماتریس $$U$$ یک ماتریس نرمال است که مقادیر ویژه آن روی دایره‌ای با شعاع واحد قرار گرفته‌اند.

ساختار ابتدایی ماتریس یکانی

فرض کنید می‌خواهیم یک ماتریس یکانی مرتبه ۲ ایجاد کنیم. ساختار اصلی برای چنین ماتریسی به شکل زیر است.

$$\large{\displaystyle U = { \begin{bmatrix} a & b \\ -e^{ i \varphi } b^{*} & e^{ i \varphi } a^{*} \\ \end{bmatrix}}, \qquad \left| a \right|^{2} + \left| b\right|^{2} = 1}$$

واضح است که ماتریس بالا به چهار پارامتر حقیقی وابسته است. قسمت حقیقی عدد $$a$$، قسمت حقیقی عدد $$b$$، مقدار نسبی بین $$a$$ و $$b$$، همچنین زاویه بین آن‌ها ($$\phi$$).

دترمینان این ماتریس به صورت زیر خواهد بود.

$$\large {\displaystyle \det(U) = e^{i \varphi }}$$

زیرگروهی از عناصر این ماتریس که دترمینان آن برابر با ۱ است را «گروه خاص یکانی» ( special unitary group) می‌نامند و با نماد $$SU(2)$$ مشخص می‌کنند.

ماتریس $$U$$ را که در رابطه بالا معرفی شد را به شکل دیگری نیز می‌توان نوشت.

$$\large {\displaystyle U = e^{ i \varphi /2}{\begin{bmatrix} e^{ i \varphi _{1}} \cos \theta & e^{ i \varphi_{2}} \sin \theta \\ -e^{- i \varphi_{2}} \sin \theta & e^{ - i \varphi_{1}} \cos \theta \end{bmatrix}}}$$

واضح است که در رابطه بالا اگر $$\phi_1 = \psi + \Delta$$ و $$\phi_2 = \psi - \Delta$$ در نظر گرفته شوند، خواهیم داشت:

$$\large {\displaystyle U = e^{ i \varphi /2} {\begin{bmatrix} e^{ i \psi } & 0 \\ 0 & e^{ - i \psi } \end{bmatrix}} {\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}} {\begin{bmatrix} e^{ i \Delta } & 0 \\ 0 & e^{ - i \Delta } \end{bmatrix}} }$$

رابطه اخیر ارتباط بین دو ماتریس یکانی دو در دو و ماتریس متعامد دو در دو با زاویه $$\theta$$ را مشخص می‌کند. یک روش دیگر برای تفکیک ماتریس یکانی به شکل زیر نوشته می‌شود.

فیلم آموزش جبر خطی – جامع و مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

$$\large {\displaystyle U = {\begin{bmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \\ \end{bmatrix}} {\begin{bmatrix}e^{ i \xi } & 0 \\ 0 & e^{ i \zeta } \end{bmatrix}} {\begin{bmatrix} \cos \beta & \sin \beta \\ - \sin \beta & \cos \beta \\ \end{bmatrix}}}$$

نکته: روش‌های متعدد دیگری برای نمایش تفکیکی یا افراز شده از ماتریس یکانی براساس ماتریس‌های پایه وجود دارد.

همانطور که دیدید، ماتریس همانی و ماتریس یکانی از بعضی جنبه‌ها، شبیه یکدیگر عمل می‌کنند. به همین جهت شناخت خصوصیات آن‌ها در هر دو فضای حقیقی و مختلط، راه را برای انجام محاسبات ماتریسی باز می‌کند.

خلاصه و جمع‌بندی

در این مطلب از مجله فرادرس با دو ماتریس خاص یعنی ماتریس همانی و ماتریس یکانی در جبر خطی آشنا شدیم که در محاسبات مربوط به ضرب ماتریسی و مشخص کردن معکوس ماتریس‌ها، نقش مهمی دارند. در این بین «ماتریس همانی» (Identity Matrix)، به مانند عدد ۱ در عمل ضرب اعداد در جبر ماتریس‌ها نقش بازی می‌کند. از طرفی «ماتریس یکانی» (Unity Matrix)، نیز همین وظیفه را در «فضای هرمیتی» (Hermitian Space) دارد. خصوصیات و ویژگی‌های هر یک از ماتریس‌های همانی و یکانی نیز در متن گنجانده شد و مورد بحث قرار گرفت.