ضرب عبارت های جبری – به زبان ساده + حل تمرین و مثال

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با عبارت جبری و ساده کردن آن‌ها آشنا شدیم. همچنین، مطالبی را درباره محاسبه مقدار عددی عبارت‌های جبری بیان کردیم. در این آموزش، با ضرب عبارت های جبری آشنا می‌شویم و مثال‌هایی از آن را حل خواهیم کرد.

عبارت جبری چیست؟

عبارت جبری (Algebraic Expression) را می‌توان به‌عنوان ترکیبی از جمله‌ها (Terms) تعریف کرد که با عملیاتی مانند جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و غیره در کنار یکدیگر قرار می‌گیرند. به‌عنوان مثال، $$5x + 7$$ یک عبارت جبری است که اجزای آن در شکل زیر نشان داده شده‌اند. یک عبارت جبری سه بخش دارد: متغیر، ثابت و ضریب.

در عبارت جبری، نمادی که مقدار ثابتی ندارد، متغیر (Variable) نام دارد. متغیر هر مقداری می‌تواند داشته باشد. از نمادهای متداولی که به‌عنوان متغیر در ریاضی استفاده می‌شوند، می‌توان به $$a$$ و $$b$$ و $$x$$ و $$y$$ و $$z$$ و $$m$$ و $$n$$ اشاره کرد. همچنین، به نمادی که مقدار عددی ثابتی دارد، ثابت (Constant) می‌گویند. همان‌طور که می‌دانیم، همه اعداد ثابت هستند.

چند مثال از ثابت‌ها عبارت‌اند از $$3$$ و $$6$$ و $$- \frac 12$$ و $$\sqrt 3$$. یک جمله یک متغیر به‌تنهایی یا یک ثابت به‌تنهایی یا ترکیبی از ضرب و تقسیم متغیرها و ثابت‌هاست. برای مثال، $$3 x ^ 2$$ و $$3 x ^ 2$$ و $$- \frac {2y}3$$ و $$\sqrt 5$$ و امثال این‌ها جمله هستند. جمله‌ها با علامت جمع یا تفریق از هم جدا می‌شوند. اعدادی که در متغیرها ضرب می‌شوند، ضریب (Coefficient) نام دارند.

ضرب دو عبارت تک‌جمله‌ای

عبارت تک‌جمله‌ای یک عبارت جبری است که فقط یک جمله دارد. برای مثال، $$3 x ^ 4$$ و $$3 x y$$ و $$3 x$$ و $$8 y$$ عبارت تک‌جمله‌ای هستند، زیرا تنها یک جمله دارند.

برای ضرب دو تک‌جمله‌ای، ابتدا ضرایب عددی را در هم ضرب می‌کنیم، سپس متغیرها را در هم ضرب می‌کنیم.

برای مثال، می‌خواهیم دو تک‌جمله‌ای $$6 x y$$ و $$- 3 x ^ 2 y ^ 3$$ را در هم ضرب کنیم. برای این کار، این‌گونه عمل می‌کنیم:

$$\large \begin {align} ( 6x y ) ( - 3 x ^ 2 y ^ 3 ) & = (6 )(-3 ) \times ( x y ) (x ^ 2 y ^ 3 ) \\ & = -18 \times x ^ {1 + 2 } y ^ {1 + 3 }\\ & = - 18 x ^ 3 y ^ 4 \end {align}$$

دقت کنید که وقتی متغیر یکسانی را با توان‌های مختلف (یا برابر) در هم ضرب می‌کنیم، توان آن‌ها با هم جمه می‌شود. مثال‌های زیر این موضوع را به‌خوبی نشان می‌دهند:

$$\large x ^ 2 \times x = x ^ {2 + 1 } = x ^ 3 \\ \large x ^ 2 \times x ^ 2 = x ^ { 2 + 2 } = x ^ 4 \\ \large x y \times x ^ 2 y ^ 3 =x ^ {1 + 2 }y ^ {1 + 3 } = x ^ 3 y ^ 4$$

شبیه ساز ضرب عبارت های جبری

در این مطلب با انواع ضرب عبارت‌های جبری آشنا می‌شوید. اما با استفاده از شبیه‌ساز زیر می‌توانید روش انجام این دسته از عملیات‌ها را به خوبی درک کنید. این شبیه‌ساز توسط دانشگاه کلورادو و با هدف کم به یادگیری هرچه بهتر دانش‌آموزان و دانش‌جویان طراحی شده است. با کمک آن می‌توانید تاثیر متغیر‌ها و درجه‌ جمله‌های این عبارت‌ها را در عملیات ضرب مشاهده کنید.

ضرب عبارت تک‌جمله‌ای در عبارت دوجمله‌ای

برای محاسبه ضرب یک عبارت تک‌جمله‌ای در عبارت دوجمله‌ای، عبارت تک‌جمله‌ای را در هر دو جمله عبارت دوجمله‌ای ضرب می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم + گواهینامه در فرادرس

کلیک کنید

مثلاً فرض کنید می‌خواهیم ضرب $$x ( 1 + x y )$$ را انجام دهیم. با ضرب تک‌جمله $$x$$ در دو جمله $$1$$ و $$x y$$، خواهیم داشت:

$$\large x ( 1 + x y ) = x \times 1 + x \times x y = x + x ^2 y$$

به‌عنوان یک مثال دیگر، می‌خواهیم عبارت زیر را ساده کنیم:

$$\large 2 a \left ( a - 1 \right ) - 3 \left ( { a } ^ { 2 } - 1 \right )$$

بدین منظور، ضرب‌ها را انجام داده و جملات متشابه را با هم ساده می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} 2 a \left ( a - 1 \right ) - 3 \left ( { a } ^ { 2 } - 1 \right ) & = 2 a \left ( a \right ) + 2 a \left ( - 1 \right ) + \left ( - 3 \right ) \left ( { a } ^ { 2 } \right ) + \left ( - 3 \right ) \left ( - 1 \right ) \\ & = 2 { a } ^ { 2 } - 2 a - 3 { a } ^ { 2 } + 3 \\ & = - { a } ^ { 2 } - 2 a + 3 \end {align*}$$

ضرب دو عبارت دوجمله‌ای

برای ضرب دو دوجمله‌ای، کافی است جملات را تک به تک در هم ضرب کنیم. شکل زیر این موضوع را به‌خوبی نشان می‌دهد.

$$\large \begin {align} ( ax + b ) ( cx + d) & = (ax ) (cx) + (ax) (d) + ( b ) ( c x ) + ( b ) ( d) \\ & = ac x ^ 2 +adx +bc x + bd \\ & = ac x ^ 2 + ( ad + bc) x + bd \end {align}$$

برای مثال، می‌خواهیم ضرب $$\left(3x-2\right)\left(5x+8\right)$$ را انجام دهیم.

$$\large \begin {align*} \left ( 3 x - 2 \right ) \left ( 5 x + 8 \right ) & = \left ( 3 x \right ) \left ( 5 x \right ) + \left ( 3 x \right ) \left ( 8 \right ) + \left ( - 2 \right ) \left ( 5 x \right ) + \left ( - 2 \right ) \left ( 8 \right ) \\ & = 1 5 { x } ^ { 2 } + 2 4 x - 1 0 x - 1 6 \\ & = 1 5 { x } ^ { 2 } + 1 4 x - 1 6 \end {align*}$$

ضرب عبارت دوجمله‌ای در عبارت سه‌جمله‌ای

برای ضرب یک عبارت دوجمله‌ای در عبارت سه‌جمله‌ای، این‌گونه عمل می‌کنیم (هر حرف نماینده یک جمله است:‌

$$\large \left ( A + B \right ) \left ( C + D + E \right ) = A \left ( C + D + E \right ) + B \left ( C + D + E \right )$$

برای مثال، می‌خواهیم ضرب $$\left(x - 1\right)\left({x}^{2} - 2x + 1\right)$$ را انجام دهیم.

برای محاسبه این ضرب، می‌توان نوشت:

$$\large \begin {align} \left ( x - 1 \right ) \left ( { x } ^ { 2 } - 2 x + 1 \right ) & = x \left ( { x } ^ { 2 } - 2 x + 1 \right ) - 1 \left ( { x } ^ { 2 } - 2 x + 1 \right ) \\ & = { x } ^ { 3 } - 2 { x } ^ { 2 } + x - { x } ^ { 2 } + 2 x - 1 \end {align}$$

ضرب عبارت‌های چندجمله‌ای

برای  ضرب عبارت‌های چندجمله‌ای نیز مشابه بخش‌های قبل عمل می‌کنیم. کافی است جمله اول عبارت اول را در همه جمله‌های عبارت دوم ضرب کنیم. سپس جمله دوم عبارت اول را در همه جملات عبارت دوم، سپس جمله سوم عبارت اول را در

در ادامه، مثال‌هایی را حل خواهیم کرد.

مثال‌های ضرب عبارت های جبری

در این بخش، چند مثال از ضرب عبارت‌های جبری را بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی و آمار ۱ – پایه دهم علوم انسانی در فرادرس

کلیک کنید

مثال اول ضرب عبارت های جبری

ضرب عبارت‌های $$7 ab ^ 2$$ و $$- 4 a ^ 2 b$$ و $$- 5 a b c$$ را انجام دهید.

حل: ضرب این سه عبارت تک‌جمله‌ای به ‌صورت زیر انجام می‌شود:

$$\large \begin{align} ( 7 a b \times 2 ) \times (- 4 a \times 2 b) \times ( - 5 a b c ) & = ( 7 \times (-4) × ( - 5 ) ) \times ( a b ^ 2 \times a ^ 2 b \times a b c ) \\ & = 1 4 0 a ^ {1 + 2 + 1 } b ^ { 2 + 1 + 1 } c \\ & = 140a ^ 4 b ^ 4 c \end{align}$$

مثال دوم ضرب عبارت های جبری

حاصل‌ضرب زیر را محاسبه کنید.

$$\large 5 a ^ { 2 } b ^ { 2 } \times \left ( 3 a ^ { 2 } - 4 a b + 6 b ^ { 2 } \right )$$

حل: با توجه به مواردی که بیان کردیم، داریم:

$$\large \begin {aligned} & 5 a ^ { 2 } b ^ { 2 } \times \left ( 3 a ^ { 2 } - 4 a b + 6 b ^ { 2 } \right ) \\ & = \left ( 5 a ^ { 2 } b ^ { 2 } \right ) \times \left ( 3 a ^ { 2 } \right ) + \left ( 5 a ^ { 2 } b ^ { 2 } \right ) \times ( - 4 a b ) + \left ( 5 a ^ { 2 } b ^ { 2 } \right ) \times \left ( 6 b ^ { 2 } \right ) \\ & = 1 5 a ^ { 4 } b ^ { 2 } - 2 0 a ^ { 3 } b ^ { 3 } + 3 0 a ^ { 2 } b ^ { 4 } \end {aligned}$$

مثال سوم ضرب عبارت های جبری

حاصل‌ضرب زیر را محاسبه کنید.

$$\large \left ( - 3 x ^ { 2 } y \right ) \times \left ( 4 x ^ { 2 } y - 3 x y ^ { 2 } + 4 x - 5 y \right )$$

حل: با ضرب عبارت تک‌جمله‌ای در تک‌تک‌ جمله‌های عبارت سه‌جمله‌ای، جواب به‌دست می‌آید:

$$\large \begin {aligned} & \left ( - 3 x ^ { 2 } y \right ) \times \left ( 4 x ^ { 2 } y - 3 x y ^ { 2 } + 4 x - 5 y \right ) \\ & = \left ( - 3 x ^ { 2 } y \right ) \times \left ( 4 x ^ { 2 } y \right ) + \left ( - 3 x ^ { 2 } y \right ) \times \left ( - 3 x y ^ { 2 } \right ) + \left ( - 3 x ^ { 2 } y \right ) \times ( 4 x ) + \left ( - 3 x ^ { 2 } y \right ) \times ( - 5 y ) \\ & = - 1 2 x ^ { 4 } y ^ { 2 } + 9 x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 1 2 x ^ { 3 } y + 1 5 x ^ { 2 } y ^ { 2 } \end {aligned}$$

مثال چهارم ضرب عبارت های جبری

حاصل‌ضرب زیر را محاسبه کنید.

$$\large ( 3 x + 5 y ) \times ( 5 x - 7 y )$$

حل: جواب به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

$$\large \begin {aligned} & ( 3 x + 5 y ) \times ( 5 x - 7 y ) \\ & = 3 x \times ( 5 x - 7 y ) + 5 y \times ( 5 x - 7 y ) \\ & = ( 3 x \times 5 x - 3 x \times 7 y ) + ( 5 y \times 5 x - 5 y \times 7 y ) \\ & = \left ( 1 5 x ^ { 2 } - 2 1 x y \right ) + \left ( 2 5 x y - 3 5 y ^ { 2 } \right ) \\ & = 1 5 x ^ { 2 } - 2 1 x y + 2 5 x y - 3 5 y ^ { 2 } \\ & = 1 5 x ^ { 2 } + 4 x y - 3 5 y ^ { 2 } \end {aligned}$$

مثال پنجم ضرب عبارت های جبری

ضرب زیر را انجام دهید.

$$\large - \frac 25 a m ( - \frac { 10 } 8 a ^ 3 )$$

حل: ضرب دو تک‌جمله‌ای را داریم. برای به‌دست آوردن حاصل‌ضرب، ابتدا ضرایب عددی را در هم ضرب می‌کنیم، سپس متغیرها را. ضرب ضرایب ثابت عددی به‌‌صورت زیر خواهد بود:

$$\large - \frac 25( - \frac { 10 } 8 ) = \frac 25 \times \frac {10} 8 = \frac 1 1 \times \frac 2 4= \frac 12$$

در ادامه، متغیرها را در هم ضرب می‌کنیم:

$$\large a m ( a ^ 3 ) = a ^ 4 m$$

جواب نهایی به‌صورت زیر است:‌

$$\large \frac 12 a ^ 4 m$$

مثال ششم ضرب عبارت های جبری

حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.

$$\large 3 x ( \frac x 2 - \frac a 2 ) - \frac x 2 ( a - 3 x )$$

حل: شاید ظاهر این عبارت در نگاه اول ترسناک باشد، اما به‌صورت گام به گام به‌راحتی می‌توانیم آن را ساده کنیم.

ابتدا ضرب اول را انجام می‌دهیم:

$$\large \begin {align} 3 x ( \frac x 2 - \frac a 3 ) & = ( 3 x ) (\frac x 2 ) + (3 x ) (-\frac a 3 ) \\ & = \frac 32 x ^ 2 -\frac 33 ax \\ & =\frac 32 x ^ 2 - ax \end {align}$$

و برای ضرب دوم، داریم:

$$\large \begin {align} -\frac x 2 ( a - 3 x ) & = (-\frac x 2 ) ( a ) + ( - \frac x 2 ) (-3 x ) \\ & = -\frac 1 2 ax + \frac 32 x ^ 2 \end {align}$$

اکنون کافی است دو عبارت بالا را جمع کنیم:

$$\large \begin {align} &( \frac 3 2 x ^ 2 - a x ) + ( -\frac 1 2 ax + \frac 32 x ^ 2 )\\ & =\frac 3 2 x ^ 2 - a x -\frac 1 2 ax + \frac 32 x ^ 2 \end {align}$$

حال باید جملات متشابه را در کنار هم بنویسیم و جمع جبری کنیم:

$$\large \begin {align} & \frac 3 2 x ^ 2 - a x -\frac 1 2 ax + \frac 32 x ^ 2 \\ & = \frac 3 2 x ^ 2+ \frac 32 x ^ 2 - a x -\frac 1 2 ax \\ & = (\frac 32 + \frac 32) x ^ 2 + (-1-\frac 12) a x \\ & = \frac 62 x ^ 2 -\frac 32 a x \\& = 3 x ^ 2 -\frac 32 ax \end {align}$$

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم

برای آشنایی بیشتر با مباحث درس ریاضی پایه هفتم، پیشنهاد می‌کنیم فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم فرادرس را مشاهده کنید که در ۱۳ ساعت و ۳ دقیقه تدوین شده و همه مباحث 14 درس کتاب درسی را به‌طور کامل پوشش می‌دهد. در فصل یکم این آموزش، راهبردهای حل مسئله معرفی می‌شود. فصل دوم درباره عددهای صحیح است. فصل سوم درباره جبر و معادله است. در فصل چهارم به هندسه و استدلال پرداخته شده است. موضوع فصل ششم سطح و حجم است. در فصل هفتم به توان و جذر پرداخته شده است. فصل هشتم به بردار و مختصات اختصاص یافته است و در نهایت، آمار و احتمال در فصل نهم معرفی می‌شود.

• برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم + اینجا کلیک کنید.

جمع‌بندی

در این آموزش، با روش ضرب عبارت های جبری آشنا شدیم. همچنین، مثال‌های متنوعی را برای یادگیری بهتر این ضرب عبارت‌ها حل کردیم.